Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:
Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
если х 1 ≠ х2 и х = х 1 , если х 1 = х2 .
Дробь 
=
k называется угловым
коэффициентом прямой.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:
Уравнение плоскости в отрезках – описание и примеры.
Если
в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D =
0 поделить обе части на -D 
, заменив 
,
получим уравнение плоскости в
отрезках: 
Числа a, b, c являются
точками пересечения плоскости
соответственно с осями х, у, z.
Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz.
В
прямоугольной системе координат Oxyz в
трехмерном пространстве уравнение
вида 
,
где a, b и c –
отличные от нуля действительные числа,
называется уравнением
плоскости в отрезках.
Такое название не случайно. Абсолютные
величины чисел a, b и cравны
длинам отрезков, которые плоскость
отсекает на координатных
осях Ox, Oy и Ozсоответственно,
считая от начала координат. Знак
чисел a, b и c показывает,
в каком направлении (положительном или
отрицательном) откладываются отрезки
на координатных осях. Действительно,
координаты точек 
удовлетворяют
уравнению плоскости в отрезках:
Посмотрите на рисунок, поясняющий этот момент.
Рассмотрим пример.
Пример.
В
прямоугольной системе координат Oxyz плоскость
проходит через точки на координатных
осях 
и 
.
Напишите уравнение этой плоскости в
отрезках.
Решение.
Заданная
плоскость отсекает отрезок длиной 2 единицы
в отрицательном направлении оси абсцисс,
длиной 
-
в положительном направлении оси ординат,
длиной 
в
отрицательном направлении оси аппликат,
считая от начала координат. Таким
образом, уравнение этой плоскости в
отрезках имеет вид 
.
Ответ:
19. Определение эллипса и вывод канонического уравнения (д), параллельный перенос центра.
Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.
Каноническое уравнение эллипса.
Теорема. В канонической для эллипса системе координат уравнение эллипса имеет вид:
.
(4)
Доказательство. Доказательство проведем в два этапа. На первом этапе мы докажем, что координаты любой точки, лежащей на эллипсе удовлетворяют уравнению (4). На втором этапе мы докажем, что любоерешение уравнения (4) дает координаты точки, лежащей на эллипсе. Отсюда будет следовать, что уравнению (4) удовлетворяют те и только те точки координатной плоскости, которые лежат на эллипсе. Отсюда и изопределения уравнения кривой будет следовать, что уравнение (4) является уравнением эллипса.
1) Пусть точка М(х, у) является точкой эллипса, т.е. сумма ее фокальных радиусов равна 2а:
.
Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками накоординатной плоскости и найдем по этой формуле фокальные радиусы данной точки М:
, 
,
откуда получаем:
.
Перенесем один корень в правую часть равенства и возведем в квадрат:
.
Сокращая, получаем:
.
Приводим подобные, сокращаем на 4 и уединяем радикал:
.
Возводим в квадрат
.
Раскрываем
скобки и сокращаем на 
:
,
откуда получаем:
.
Используя равенство (2), получаем:
.
Разделив
последнее равенство на 
,
получаем равенство (4),
ч.т.д.
2) Пусть теперь пара чисел (х, у) удовлетворяет уравнению (4) и пусть М(х, у) – соответствующая точка на координатной плоскости Оху.
Тогда из (4) следует:
.
Подставляем это равенство в выражение для фокальных радиусов точки М:
.
Здесь мы воспользовались равенством (2) и (3).
Таким
образом, 
.
Аналогично, 
.
Теперь заметим, что из равенства (4) следует, что
или 
и
т.к. 
,
то отсюда следует неравенство:
.
Отсюда, в свою очередь, следует, что
или 
и
, 
.
(5)
Из равенств (5) следует, что , т.е. точка М(х, у) является точкой эллипса, ч.т.д.
Теорема доказана.
Определение. Уравнение (4) называется каноническим уравнением эллипса.
Определение. Канонические для эллипса оси координат называются главными осями эллипса.
Определение. Начало канонической для эллипса системы координатназывается центром эллипса.