Полярная система координат в плоскости

Луч, выходящий из заданной точки  , называется полярной осью, а. точку   полюсом полярной системы координат (рис. 45). Произвольная точка   плоскости имеет полярные координаты  , где   - расстояние от   до  , а   - угол между векторами (направленным отрезком)   и полярной осью, отсчитываемый от последней против часовой стрелки.

Введем прямоугольную систему координат , у которой положительная ось   совпадает с полярной осью (рис. 46).

Рис. 45                                                                Рис.46

Система уравнений

                                                          (1)

осуществляет преобразование полярных координат в декартовые (прямоугольные). Правые части в равенствах (1) - непрерывно дифференцируемые функции с якобианом

.                                               (2)

Уравнение

,

где   - непрерывная на отрезке   функция, определяет в полярных координатах кривую   - геометрическое место точек, полярные координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Будем считать, что  . Тогда кривая   такова, что любой луч, выходящий из полюса   под углом   к оси  , где   пересекает   в одной точке (рис.47).

Рис.47

Зададим в плоскости   область  , ограниченную лучами   и кривой  . При высказанных условиях любая точка   соответствует при помощи уравнений (1) только одной паре  , где  . Пусть теперь на замыкании   нашей области задана непрерывная функция   от   или она может быть ограниченной на   и непрерывной всюду, исключая отдельные точки и гладкие линии. Тогда имеет место равенство

.                                (3)

Согласно формуле (2) § 2.7 мы заменили   через   посредством равенства (1) и ввели в качестве множителя абсолютную величину якобиана  . Для области   пар  , соответствующей исходной области  , сразу же расставлены пределы - сначала интегрируем по   от 0 до  , а затем по   от   до  .

Пример 1.

Мы следовали формуле (3). Надо учесть, что область, определяемая в декартовых координатах неравенством  , в полярных координатах определяется неравенством  .

Формулу (3) можно получить из естественных соображений, не прибегая к общей формуле (2) § 2.7.

Плоскость   разбиваем на элементарные фигуры близкими концентрическими окружностями и выходящими из полюса полярной системы лучами (рис. 48). Площадь произвольной элементарной фигуры (возле точки  ) или, как говорят, элемент площади в полярных координатах, равна с точностью до бесконечно малых высшего порядка   (заштрихованная фигура на рис. 48 может быть приближенно принята за прямоугольник со сторонами   и  ). Поэтому, если просуммировать по этим элементам, то получим

,

где

.

Пример 2. Вычислить интеграл

.

Переходя к полярным координатам (рис. 49), получаем

1. Рис. 48                                                       Рис.49

21. Поверхности 2-ого порядка (уравнение и рисунки, самостоятельно конспект).

К невырожденным поверхностям второго порядка относятся эллипсоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид, однополостной гиперболоид и двуполостной гиперболоид. Строгое изучение этих поверхностей проводится в курсе аналитической геометрии. Здесь же мы ограничимся определениями и иллюстрациями.

О пределение 5.12. 

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением   a > 0, b > 0, c > 0, называется эллипсоидом.

Рисунок 5.7.1

Свойства эллипсоида.

1. Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что     

2. Эллипсоид обладает

   • центральной симметрией относительно начала координат,

   • осевой симметрией относительно координатных осей,

   • плоскостной симметрией относительно начала координат.

3. В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается эллипс.

Рисунок 5.7.2

О пределение 5.13. 

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением   a > 0, b > 0, называется эллиптическим параболоидом.

Свойства эллиптического параболоида.

1. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.

2. Эллиптический параболоид обладает

   • осевой симметрией относительно оси Oz,

   • плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.

3. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.

О пределение 5.14. 

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением   a > 0, b > 0, называется гиперболическим параболоидом.

Рисунок 5.7.3

Свойства гиперболического параболоида.

1. Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.

2. Гиперболический параболоид обладает

   • осевой симметрией относительно оси Oz,

   • плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz.

3. В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной оси координат Oz, получается гипербола, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy, – парабола.

4. Гиперболический параболоид может быть получен поступательным перемещением в пространстве параболы так, что ее вершина перемещается вдоль другой параболы, ось которой параллельна оси первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их плоскости взаимно перпендикулярны.

О пределение 5.15. 

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением   a > 0, b > 0, c > 0, называется однополостным гиперболоидом.

Рисунок 5.7.4

Свойства однополостного гиперболоида.

1. Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.

2. Однополостной гиперболоид обладает

   • центральной симметрией относительно начала координат,

   • осевой симметрией относительно всех координатных осей,

   • плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола.

О пределение 5.16. 

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением   a > 0, b > 0, c > 0, называется двуполостным гиперболоидом.

Рисунок 5.7.5

Свойства двуполостного гиперболоида.

1. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что   и неограничен сверху.

2. Двуполостный гиперболоид обладает

   • центральной симметрией относительно начала координат,

   • осевой симметрией относительно всех координатных осей,

   • плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при   получается эллипс, при   – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям Ox и Oy, – гипербола.

 

По аналогии с коническими сечениями существуют и вырожденные поверхности второго порядка. Так, уравнением второго порядка x² = 0 описывается пара совпадающих плоскостей, уравнением x² = 1 – пара параллельных плоскостей, уравнением x² – y² = 0 – пара пересекающихся плоскостей. Уравнение x² + y² + z² = 0 описывает точку с координатами (0; 0; 0), уравнение x² + y² = 1 – круговой цилиндр, уравнение x² + y² = z² – круговой конус. Существуют и другие вырожденные случаи. Полная теория поверхностей второго порядка рассматривается в курсе аналитической геометрии.

 - эллипсоид,

 -мнимый эллипсоид,

 - однополостный гиперболоид,

 -двуполостный гиперболоид,

 - эллиптический параболоид,

 - гиперболический параболоид;

вырождающиеся нераспадающиеся поверхности:

цилиндрические поверхности, -

 - эллиптический цилиндр,

 -мнимый эллиптический цилиндр,

 - гиперболический цилиндр, у ² = 2рх -параболический цилиндр';

конические поверхности -

 - коническая поверхность,

 -мнимая коническая поверхность;

вырождающиеся распадающиеся поверхности:

 - пара пересекающихся плоскостей,

 - пара мнимых пересекающихся плоскостей,

 - пара параллельных плоскостей,

21. (К.ч.) Комплексные числа и действия над ними в алгебраической форме (в том числе деление), сопряженное , модуль z, argz, Argz, свойства аргумента. Тригонометрическая форма К.ч., умножение и деление в тригонометрической форме. . Показательная формула К.ч.

Начальные сведения о мнимых и комплексных числах приведены в разделе «Мнимые и комплексные числа». Необходимость в этих числах нового типа появилась при решении квадратных уравнений для случая  D < 0 ( здесь D – дискриминант квадратного уравнения). Долгое время эти числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физики

и техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др.

 

Комплексные числа  записываются в виде:  a+ bi. Здесь  a и  b – действительные числа, а  i – мнимая единица, т.e.  i ² = –1. Число  a называетсяабсциссой, a  b – ординатой комплексного числа  a+ bi. Два комплексных числа  a+ bi и  a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

 

Основные договорённости:

1.  Действительное число  а  может быть также записано в форме комплексного числа:  a+ 0 i  или  a – 0 i.  Например, записи  5 + 0 i  и  5 – 0 i означают одно и то же число  5 .

 

2.  Комплексное число 0+ bi  называется чисто мнимым числом. Запись bi означает то же самое, что и  0+ bi.

 

3.  Два комплексных числа  a+ bi и c+ di считаются равными, если  a= c и b= d. В противном случае комплексные числа не равны.

 

Сложение.  Суммой комплексных чисел  a+ bi  и  c+ di  называется комплексное число ( a+ c ) + ( b+ d ) i. Таким образом, при сложениикомплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

 

Вычитание.  Разностью двух комплексных чисел  a+ bi (уменьшаемое) и c+ di (вычитаемое) называется комплексное число ( a – c ) + ( b – d ) i.

Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

 

Умножение.  Произведением комплексных чисел  a+ bi  и  c+ di называется комплексное число:

( ac – bd ) + ( ad + bc ) i . Это определение вытекает из двух требований:

 

  1)  числа  a+ bi  и  c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

  2)  число i  обладает основным свойством:  i ² = –1.

 

П р и м е р .  ( a+ bi )( a – bi )= a ² + b ². Следовательно, произведение

                      двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному

                      положительному числу.

 

Деление. Разделить комплексное число  a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель) - значит найти третье число  e+ f i  (чатное), которое будучи умноженным на делитель c+ di,  даёт в результате делимое  a+ bi.

Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

П р и м е р .  Найти  ( 8 + i ) : ( 2 – 3i ) .

Р е ш е н и е . Перепишем это отношение в виде дроби:    

                       Умножив её числитель и знаменатель на  2 + 3i                        

                       и выполнив все преобразования, получим:

 

                                

 

Геометрическое представление комплексных чисел. Действительные числа изображаются точками на числовой прямой: 

 

Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и  O  – ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a+ biбудет представлено точкой  Р  с абсциссой а и ординатой b (см. рис.). Эта система координат называется комплексной плоскостью.

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа  a+ bi обозначается  | a+ bi | или буквой  r  и равен:

 

Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль.                __

Аргумент комплексного числа - это угол между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда,  tan   = b / a . 

Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсциссу  a и ординату b комплексного числа  a + bi  можно выразить через его модуль  r  и аргумент  :

 

 

Операции с комплексными числами, представленными в тригонометрической форме.

 

        Это знаменитая формула Муавра.

 

 

 

Здесь  k  - целое. Чтобы получить  n  различных значений корня  n-ой степени из  z  необходимо задать  n  последовательных значений для  k  ( например,  k = 0, 1, 2,…, n – 1 ) .

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Всякое комплексное число z = (x, y) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x и y. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, при этом ось Ox называется действительной, а Oy - мнимой.

Расстояние r точки z от нулевой точки, т. е. число

называется модулем комплексного числа z и обозначается символом |z|.

Число

называем аргументом комплексного числа z и обозначаем символом θ = arg z. При заданном r углы, отличающиеся на  , соответствуют одному и тому же числу. В этом случае записываем   называем главным значением аргумента.