Адиабатическое течение газа

Адиабатное движение газа без трения в канале переменного сечения

При движении несжимаемой жидкости изменение сечения канала сказывается на ее скорости, от которой зависит и давление потока. Плотность остается постоянной. При движении газа изменение давления приводит к изменению плотности. Поскольку скорость газа в свою очередь зависит от плотности, влияние сечения канала получается более сложным.

Уравнение, связывающее изменение скорости и плотности потока газа, выглядит следующим образом:

Логарифмируя и дифференцируя уравнение адиабаты

получим:

1/pdp - k'lnρ – kdρ/ρ =(lnconst)'=0

или

Подставляя последнее выражение в уравнение для скорости и плотности потока газа, получаем:

Проанализируем как исходное, так и окончательное уравнение. Все входящие в них величины существенно положительны, отрицательными могут быть только dω, dp и dρ. Следовательно, чтобы левая часть уравнения была равна нулю, нужно, чтобы dρ и dp имели знак, противоположный dω. Отсюда следует вывод, что при возрастании скорости газа его давление и плотность уменьшаются, а при уменьшении скорости увеличиваются.

Рассмотрим теперь, как изменяется скорость потока в зависимости от сечения канала. Логарифмируя и дифференцируя уравнение сплошности m=ρωf= const, получим:

Подставим значение

в исходное уравнение, получим:

В результате получается уравнение, называемое уравнением Гюгонио. Исследуем его. Все величины, входящие в него, положительны. Отрицательное значение могут принимать только дифференциалы.

1. При ω<a знак dω должен быть противоположен знаку df , т.е. при дозвуковом движении газа с уменьшением сечения канала скорость потока возрастает, а при увеличении сечения, наоборот, уменьшается, как в случае несжимаемой жидкости.

2. При ω>a знак dω совпадает со знаком df , т.е. при сверхзвуковом движении газа его скорость возрастает с увеличением сечения канала и уменьшается с уменьшением сечения. Этот парадоксальный результат объясняется следующим. При расширении газа плотность его уменьшается настолько сильно, что произведение ρf в целом уменьшается, несмотря на увеличение f. В соответствии с уравнением сплошности ρωf=const уменьшение ρf приводит к увеличению ω.

3. При ω=0 df=0, т.е. сечение является экстремальным. Экстремальное сечение, в котором ω=a, называется критическим.

Рис 11

Критическое сечение не может быть максимальным (рис.12б), так как дозвуковой поток, входя в канал такой формы, будет замедляться, и следовательно, не приобретет скорости звука (ω=a). Сверхзвуковой поток, входя в такой канал, должен ускоряться, а потому не может замедляться до скорости звука. Следовательно, Критическое сечение всегда является минимальным.

Адиабатное течение газа в трубе при наличии трения

Движение газа в трубе постоянного сечения более сложно, чем движение несжимаемой жидкости. Если скорость жидкости вдоль трубы постоянна, то потеря давления газа на преодоление трения, приводит к его расширению, т.е. к уменьшению плотности, а следовательно, и увеличению скорости. Этот вывод был сделан, когда мы рассматривали адиабатическое движение без трения в канале переменного сечения. При небольших скоростях изменение давления невелико и движение газа мало отличается от движения несжимаемой жидкости.

Исследуем изменение скорости газа вдоль трубы. Для упрощения будем считать, что распределение скорости вдоль трубы равномерное. Изменение потенциальной энергии газа обычно невелико (т.е. сечения 1 и 2 находятся практически на одной высоте и z₁=z₂), поэтому им можно пренебречь.

Перепишем уравнение Бернулли, полагая ρg(z₂-z₁)=0;

ρ(w₂²/2 – w₁²/2) + 0 +(p₂-p₁) +ξρ(w²/2)=0

или в дифференциальной форме (для бесконечно малого участка трубы dx):

или Учитывая, что , а для прямых каналов коэффициэнт рассчитывается по формуле , получаем (где l – длинна участка, d - диаметр участка)

Подставив это значение в уравнение для элементарной работы трения, получаем

Величину можно преобразовать следующим образом:

(помним, что a²=dp/dρ)

Подстановка этого выражения дает уравнение:

wdw + a²dp/ρ + ϛ۰dx/2d۰w²=0

Из уравнения сплошности после его логарифмирования и дифференцирования мы получили ранее варажение Т.к. для трубы постоянного сечения изменение площади сечения df = 0, получам

Подставим последнее выражение внаше преобразованное уравнение Бернулли и выполняя алгебраические преобразования, получаем:

w/dw-a²dw/w+ ϛ۰dx/2d۰w²=0. Делим это уравнение на w² и получаем:

,

Все величины, входящие в эти уравнения существенно положительны, отрицательным может быть только dw. Следовательно, чтобы левая часть была отрицательной, при w < a обязательно dw > 0, т.е. дозвуковой поток в трубе постоянного сечения ускоряется.

При w > a величина dw < 0, т.е. сверхзвуковой поток в трубе постоянного сечения замедляется. Из полученного нами уравнения следует, что в цилиндрической трубе скорость не может превысить критическое значение. Действительно, лишь только оно будет превышено на бесконечно малую величину, поток начнет замедляться.

Очевидно, что критическая скорость достигается на выходе, т.к. если бы газ приобретал скорость звука в промежуточном сечении, он должен бы был сохранять её на выходе несмотря на потерянное давление, а это противоречит уравнению Сен-Венана и Ванцеля.