11. Плотность распред. Сл. Вел

Большую роль в теории вероятности играет плотность распределения вероятности.

Пусть F(x) – функция распределения НСВ Х. Рассмотрим приращение функции распределения, т. е. . Т. к. функция непрерывна, то . Т.о. вероятность любого отдельного значения х НСВ Х равна 0.

Рассмотрим предел отношения приращения функции распределения к приращению х, при х0 (отношение будем называть средней плотностью вероятности, а сам предел – плотностью вероятности):

Производная функции распределения называется плотностью вероятности НСВ Х, а так же дифференциальной функцией.

Свойства f(x):

1). т. к. функция распределения –неубывающая функция.

2). , т.к. вероятность того, что НСВ Х примет значение от - до + есть достоверное событие и его вероятность равна 1.

Теорема. Вероятность того, что НСВ Х примет значение , равна определенному интегралу от плотности, взятому на интервале (a;b):

.

12.Мат. Ожид. И его св-ва.

Мат. ожиданием дискретной сл. Вел. называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина X может принимать только

значения xl x2, ..., хn, вероятности которых соответственно равны р1, р2, … рn. Тогда мат. ожидание М (X) случайной величины X определяется равенством М (X) = х1р1 + х2р2 + ... + хnpn.

Если дискретная случайная величина X принимает счетное множество возможных значений, то

ат. Ожид. Непр. Сл. Вал. Х, знач. Кот. Лежат в промежутке [а,b]. Наз. Число М(Х), равное опред. Интегралу М(Х)= , где f(х)-плотность распред. С.в.

Если возможные значения непр. С.в. Х заполняют всю числовую ось. То мат. Ожид. Равно несобст. Интегралу М(Х)= . Причём несобст. Интеграл сход-ся абсолютно.

Свойства математического ожидания

1. Мат. ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак мат. ожидания:

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

5.Математическое ожидание М (X) числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: М (X) = nр.

13. Дисперсия и её св-ва. Ср.Кв. Отклонение

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Такую оценку даёт дисперсия с.в.

Св-ва:

1. Дисперсия постоянной величины

С равна нулю; D(С)=0

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(CX)=C² D(X)

3. Дисперсия суммы двух независимых

случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X+Y)=D(X)+D(Y)

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X-Y)=D(X)+D(Y)

5.Дисперсия дискр. с.в., распред. по биноминальному з-ну: D(X)=npq

Дисперсия с.в. всегда неотриц. число.

Если непр. с.в. принримает знач. в числ. промежутке [a,b], то её дисп. вычисл.:

Если знач. непр. с.в. Х заполнит всю числ. ось, то диспер.вычисл. припомощи несобст. интеграла: