22. Эмпирическая ф-ция распред.Полигон. Введем понятие эмпирических функций распределения.
Пусть
известно стат. распределение частот
некоторого количественного признака
Х,
- число наблюдений, при котором
количественный признак X<x:
- относительная
частота – есть функция от х.
Эмпирической
функцией распределения (функция
распределения выборки) наз. функция
определения каждому значению х
соответствующую относительную частоты
события X<x:
В
отличии от теоретической функции
распределения F(x)
функция
определяет относительную частоту
события X<x:
Как
известно, из теоремы Бернулли,
относительная частота
при больших п;
(при больших п), т.е.
и
мало отличаются при больших п.
Т.О.
образом использовать эмпирическую
функцию
в качестве приближения теоретической
функции
- функции распределения генеральной
совокупности.
Свойства эмпирических функций распределения
1)
2) - неубывающая
3)
- наименьших вариантов;
- наибольших вариантов.
23. Выб. средняя и её св-ва.Выб. дисперсия и её св-ва.
33.Двумерная случ. в.Матрица распред.Ф-ция распред. дв.с.в. и св-ва
34. Плотность распред. двумерной сл..в. и св-ва.
35.Функц.,стат. и корреляц. зав-ти.
24. Стат. Оценки пар-ров распред. Оценка ген. Сов-ти по выб. Ср.
Пусть Х некоторый количественный признак генеральной совокупности. Есть основания полагать, что этот признак распределения по нормальному закону, тогда для определения данного признака достаточно оценить 2 параметра: а, .
Пусть имеется
некоторая выборка:
объема п.
Тогда неизвестный
параметр будет являться функцией от
.
Очевидно, что
можно рассматривать как СВ
.
Тогда, чтобы найти стат. оценку
оцениваемого параметра достаточно
найти эту функцию, которая и будет
приближенно равна оцениваемому
параметру.
Опр.
Стат. оценкой неизвестного параметра
теоретического распределения наз.
функцию от наблюдаемых СВ:
,
где
- стат. оценка неизвестного параметра
.
К стат. оценке выдвигаются следующие требования:
1) стат. оценка
должна быть не смещенной. Несмещенной
стат. оценкой наз. такая стат. оценка,
мат. ожидание которой равна оцениваемому
параметру при любом объеме выборки,
т.е.
Несмещенность характеризует отсутствие ошибок, т.е. получаемое стат. оценки могут быть как больше, так и меньше нуля. Однако, если стат. оценка не смещена ошибки разных знаков встречаются одинаково часто.
Если
оценка будет смещенной, ,
не может быть принята как стат. оценка.
Однако дисперсия
даже не стат. оценки может быть достаточно
велика, а это значит, что полученные
может значительно удаляться от
,
а, ,
и от исследуемого параметра
поэтому дисперсия
должна быть также мала.
2) Стат. оценка должна быть эффективной.
Опр. Эффективной наз. такая стат. оценка, которая при данном объеме выборки имеет наименьшую возможную дисперсию.
3) Если объем выборки велик, то стат. оценка должна быть состоятельной.
Опр.
Состоятельно
наз. стат. оценка, которая при
,
стремиться по вероятности к оцениваемому
параметру:
.
Очевидно, когда дисперсия исследуемой стат. оценки стремиться к нулю при , то эта оценка будет и состоятельной.
Важным параметром
генеральной совокупности является
генеральная средняя:
.
В качестве оценки
генеральной средней принимают выборочную
среднюю
Так как математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных случайных величин равно математическому ожиданию каждой из величин , то
математическсе ожидание а каждой
из величин равно математическому ожиданию признака X
генеральной
совокупности, т. е.
При увеличении объема выборки п выборочная средняя стремится по вероятности к генеральной средней, а это и означает, что выборочная средняя есть состоятельная оценка генеральной средней. Если по нескольким выборкам достаточно большого объема из одной и той же генеральной совокупности будут найдены выборочные средние, то они будут приближенно равны между собой. В этом и состоит св-во
устойчивости выборочных средних.