3. Комплексные числа и действия над ними. Три формы комплексного числа.

Комплексным числом называется выражение вида z = x + iy – алгебраическая форма, где x и y – действительные числа, i – мнимая единица.

Мнимая единица есть число, квадрат которого равен -1 (i² = (0 + i1)(0 + i1) = (0 - 1) + i(0 + 0) = -1).

Число x называется действительной частью числа z и обозначается Re(z), а число y – мнимой частью числа z и обозначается Im(z), т.е. x = Re(z), y = Im(z).

Действительное число x является частным случаем комплексного z = x +iy при y = 0. Комплексные числа z = x + iy, не являющиеся действительными, т.е. при y = 0, называются мнимыми, а при x = 0 y ≠ 0, т.е. числа вида z = iy – чисто мнимыми.

Числа z = x + iy и ż = x – iy называются сопряжёнными.

Два комплексных числа z₁ = x₁ + iy₁ и z₂ = x₂ + iy₂ называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. z₁ = z₂, если Re(z₁) = Re(z₂), Im(z₁) = Im(z₂). В частности z = 0, если Re(z) = 0 и Im(z) = 0.

Сумма комплексных чисел: z₁ + z₂ = x₁ + x₂ + i(y₁ + y₂).

Разность комплексных чисел: z₁ - z₂ = x₁ - x₂ + i(y₁ - y₂).

Произведение комплексных чисел: z₁z₂ = (x₁x₂ – y₁y₂) + i(x₁x₂ + y₁y₂).

Деление комплексных чисел: z₁/z₂ = (z₂ ≠0).

Для геометрического изображения комплексных чисел служат точки координатной плоскости Oxy.

Плоскость называется комплексной, если каждому комплексному числу z = x + iy ставится в соответствие точка плоскости z(xy), причём это соответствие взаимно однозначное.

Оси Ox и Oy, на которых расположены действительные числа z = x + 0i = x и чисто мнимые числа z = 0 + iy = iy, называются соответственно действительной и мнимой осями.

r – длина радиус-вектора, модуль комплексного числа z и обозначается ІzІ. r = ІzІ = .

Угол Φ, образованный радиусом-вектором с осью Ox, называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z.

x = rcosΦ, y = rsinΦ, z = r(cosΦ + isinΦ) – тригонометрическая форма.

При сложении (вычитании) комплексных чисел их радиус-векторы складываются (вычитаются) по правилу параллелограмма.

Модуль произведения (частного) двух комплексных чисел равен произведению (частному) модулей этих чисел, а его аргумент – сумме (разности) аргументов этих чисел.

Формула Муавра – возведение комплексного числа в натуральную степень: rⁿ(cosΦ + isinΦ).

Извлечение корня из комплексного числа: = ρ(cosΨ + isinΨ) = ρⁿ(cosnΨ + isinnΨ), где ρⁿ = r, nΨ = Φ + 2πk, keZ, т.е. = (cos + isin )

Формула Эйлера: e^iΦ = cosΦ + isinΦ, z = re^iΦ – показательная форма.

4. Понятие функции. Область определения, множество значений функции. Чётность, нечётность, периодичность.

Если каждому элементу x множества X (xеX) ставится в соответствие вполне определённый элемент y множества Y (yеY), то говорят, что на множестве X задана функция y = f(x). При этом x – независимая переменная, y – зависимая переменная, f обозначает закон соответствия. Множество X – область определения (существования) функции, множество Y – область значений функции.

Если множество X не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной x, т.е. множество таких значений x, при которых функция y = f(x) вообще имеет смысл.

Функция y = f(x) называется чётной, если для любых значений x из области определения f(-x) = f(x) и нечётной, если f(-x) = -f(x). В противном случае функция y = f(x) называется функцией общего вида. График чётной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечётной функции симметричен относительно нала координат.

Функция f = f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если большому значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.

Функция y = f(x) называется периодической с периодом T ≠ 0, если для любых x из области определения функции f(x +T) = f(x)