9. Правосторонние и левосторонние пределы.

Если x<a и x→a, то употребляют запись x→a-0; если x>a и x→a - запись x→a+0. Числа f(a-0)= и f(a+0)= называются соответственно левым и правым пределом функции f(x) в точке a.

10. Лемма об ограниченности и знаке функции, имеющей предел. Лемма о двух милиционерах.

Лемма об ограниченности функции, имеющей предел. Если функция f(x) имеет предел в точке a , то она ограниченна в некоторой окрестности точки a.Лемма о двух милиционерах - если одна последовательность заключена между двумя другими, имеющими одинаковый предел, то она имеет тот же предел.

Если функция y=f(x) такая, что μ(x)≤f(x)≤ψ(x) для всех x в некоторой окрестности точки a, причём функции μ(x) и ψ(x) имеют одинаковый предел при x→a, то существует предел функции y=f(x) при x→a, равный этому же значению, то есть = =A=> =A.

11. Бесконечно малые функции, их основные свойства и связь с бесконечно большими функциями.

Функция называется бесконечно малой величиной при x→x₀, или при x→æ, если её предел равен нулю: =0.

(Vε>0)(∃δ=δ(ε)>0)(Vx≠x₀: Іx-x₀І<δ)Іα(x)І<ε.

(Vε>0)(∃S=S(ε)>0)(Vx: ІxІ<S)Іα(x)І<ε.

Свойства бесконечно малых величин: 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая. 2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию (в том числе на постоянную, на другую бесконечно малую) есть величина бесконечно малая. 3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами. Если функция α(х) есть бесконечно малая величина при x→x₀ (x→æ), то функция f(x)=1/ α(х) является бесконечно большой при x→x₀(x→æ). И обратно, если функция f(x) бесконечно большая при x→x₀ (x→æ), то функция f(x)=1/ α(х) есть величина бесконечно малая при x→x₀ (x→æ).

12. Представление функции, имеющей предел.

локальная ограниченность функции, имеющий предел.

Если предел   при   равняется А, то найдется окрестность  , во всех точках которых функция   ограниченна.   Положим 

Из условия теоремы следует существование окрестности:  . Следовательно: 

 Отсюда для указанных х     что и означает ограниченность   в  .

13. Теорема о пределе суммы, произведения и частного.

Предел алгебраической суммы конечного число функций равен такой же сумме пределов этих функций.

Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций.

Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю).

13. Верхние и нижние грани множества в r1. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной последовательности.

Точная верхняя грань и нижняя грань – обобщение понятий максимума и минимума множества.

Верхняя грань или супремум подмножества Х упорядоченного множества М – наименьший элемент М, который равен или больше всех элементов множества Х, т.е. наименьшая из всех граней (supX).

Нижняя грань или инфимум подмножества Х упорядоченного множества М - наибольший элемент М, который равен или меньше всех элементов множества Х, т.е. наибольшая из всех нижних граней (infX).

Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности утверждает, что любая ограниченная возрастающая последовательность имеет предел, причём этот предел равен её точной верхней грани. Для убывающей последовательности аналогичное утверждение верно для точной нижней грани.

13. Первый и второй замечательные пределы. Задача о непрерывном начислении процентов.

Первый замечательный предел: .

Второй замечательный предел: = е.

Задача о непрерывном начислении процентов. Первоначальный вклад в банк составил Q₀ денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно p% годовых. Необходимо найти размер вклада Q_t через t лет. Формула Q₁ = Q₀e^pt/100 выражает показательный (экспоненциальный) закон роста (при p>0) или убывания (при p<0).