Зчр. Признак Лейбница

an>0

Т.Лейбница (признак сходимости ЗЧР)

Если: 1. Абсолютные величины членов ряда убывают, u1>u2>u3...un>u(n+1)…

2. lim Un=0

Если предел общего члена ряда равен 0, то ЗЧР сходится.

Un=|(-1)n+1 | =

Составим ряд из абсолютных величин ЗПР

Сигма -сходится

Применяем предельный признак

По теореме об абсолютной сходимости данный ряд сходится абсолютно.

Признак Лейбница

1. u1=1. u2=1/2. u3=1/3. u4=1/4

U1<u2<u3<u4…

Абсолютные величины чер ряда убывают

2. lim 1/n=0 ЗЧР сигма (-1)n+1 сходится по т Лейбница.

Т.к. сходится ряд по т Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин расходится, то данный ряд сходится условно.

ЗЧР будет расходится, если расходится ряд из абсолютных величин и нарушены условия признака Лейбница, т.е. через (стрелка вверх) и предел общ члена ряда, взятого по модулю, не равно нулю.

Lim Un не равно нулю, т.е. выполянется достаточный признак расходимости.

Сумма ЗЧР не превышает по абсолютной величине 1ого члена ряда. Сумма остатка ряда не превосходит первого из отброшенных членов ряда.

Определите характер сходимости знакочередующегося числового ряда  . Решение. Ряд из абсолютных величин членов имеет вид  . Для него выполняется необходимое условие сходимости  . Возьмем гармонический ряд   и воспользуемся вторым признаком сравнения: Таким образом, ряд из модулей   - расходящийся. В свою очередь, знакочередующийся ряд   сходится, так как выполняются условия признака Лейбница: последовательность   монотонно убывает и  . Следовательно, исходный ряд условно сходящийся. 

Степенные ряды.

An-общий член числового ряда

Для любого степенного ряда сущ-ет (-R;R) такой, что во всех точках этого интервала ряд сходится абсолютно, вне этого интервала рас-ся

Радиус сходимости и обл сходимости можно найти с помощью признака Даламбера.

По признаку Даламбера ряд сходится, если <1

При x=R, x= - R требуются доп исследования об сходимости. Если ряд сходится-точки присоединяются, если расходятся – отвергаем.

Пример.

Ряд сходится абсолютно, если <1

|x-1|<3  -2<x<4 схема

Исследуем сходимость ряда на концах интервала:

X=4

ЗПР

Предельный признак сравнения

сходится (общ-гарм)



Ряд сходится, как эталонный  х=4 присоед к интервалу сходимости

Х=-2

ЗЧР

Составим ряд из абсолютных величин

сходится абсолютно х=-2 присоединяем

Ответ. Обл сходимости [-2;4]

Ряд Тейлора

Пусть ф-я у=f(x) имеет производные любого порядка, в некоторой точке Хо и ее окрестностях, тогда эту ф-ю можно разложить в ряд Тейлора.

При Хо=0, получаем ряд Маклорена

Разложение в ряд Маклорена некоторых элементов функций.

Разложить f(x)=e^x в ряд Маклорена (Хо=0)

Применение:

1 Приближенное вычисление значения ф-ии

2.---//---определенного интеграла

3.Решение задач Коши (поиск частного решения du призаданных начальных условиях)

Пример. Найти решение диф уравнения у'=y+x^2/y y(0)=1 Используя разложение ряда Маклорена.

Пусть у(х)-решение диф уравнения

y(x)=

y(0)=1 (по условию)

y'(0)=1+(0^2)/1=1

y’’(0)=1+((2*0*1)-0^2*1)/1^2=1

Частное решение

У(х)=1+x+(1/2!)*x^2…