Статистическое определение вероятности.

Существует большой класс событий, вероятности которых не могут быть вычислены с помощью классического определения, поэтому используют оценку вероятности событий, основанные на том, на сколько часто будет появляться данное событие в произведенных испытаниях. Используют статистическое определения.

Стат. Вероятность события А наз-ся относительная частота появления этого события в n произведенных испытаниях, т.е. , где W(A)-относительная частота, m-число испытаний, в котором появилось событие А, n-общее число испытаний.

Определение вероятности не требует, чтобы испытание происходило в действительности, определение относительной частоты требует, чтобы испытания производились практически.

Если в одинаковых условиях произведены опыты, где число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости, т.е. в различных опытах значения величины колеблется около некоторого постоянного числа. Это число можно принять за приближенное определения вероятности.

Начальные и центральные (теоретические моменты).

Начальным моментом порядка k наз-ся мат ожидание величины Xk

X-M(X) – отклонение СВ Ч от мат ожидания

Центр моментом порядка k наз-ют мат ожидание k степени отклонения СВ Х от мат ожидания.

МЮk=M(X-M(X))k

МЮ1=0

МЮ2=М(Х-М(Х))2=D(Х), т.е. цент момент МЮ2=D(X)

Для практических целей:

Данные моменты наз-ся теоретическими, чтобы отличить от эмпирических моментов (т.е. от вычисленных по данным наблюдений)

Мода

Мо(Х) Модой СВ Х ее наиболее вероятное значение (для которой вероятность pi или плотность вероятности f(x) достигает max)

Если вероятность или f(x) вероятности достигает max не в одной, а в нескольких точках, то распределение наз-ся полимодальным

Медиана

Ме(Х) НСВ (Х) наз-ся такое ее значение, для которого P(X<Me)=P(X>Me)=1/2, т.е. геометрически x=Me(X) это прямая, которая делит S фигуры под кривой распределения на 2 равные части

Ассиметрия-это величина хар-ся 3им центральным моментом

As=

Ассиметрия близка к нулю у нормального и равномерного распределения.

Эксцесс – 4 центральный момент. Эта величина определяет крутость островершинного или плосковершинного распределения

Ex=0 у норм распределения, если Ех>0, то кривые более островершинные, чем нормальная кривая, если Ех<0, значит плосковершинные.

Пример. Вероятность того, что случайно выбранная в результате опроса семья имеет цветной, черно-белый или цветной и черно-белый телевизоры, равны соответственно 0.86; 0.35; 0.29. Какова вероятность, что семья имеет цветной или черно-белый телевизор?Решение. Пусть событие А состоит в том, что семья имеет цветной телевизор. Событие В состоит в том, что семья имеет черно-белый телевизор. Событие С состоит в том, что семья имеет или цветной, или черно-белый телевизор. Событие С определяется через А и В в виде  , А и В совместны, поэтому

Вероятность суммы и произведения событий. Условная вероятность.

Сумма случайных событий. Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий другими словами логическое ИЛИ. В частности, если два события А и В - несовместные, то А + В - событие, состоящее в появлении одного из этих событии, безразлично какого. Теорема сложения вероятностей Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Р(А)+Р(В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий другими словами логическое И. Событие А называется зависимым от события В если его вероятность меняется в зависимости от того произошло событие В или нет. Для независимых событий условная и безусловная вероятность совпадают.Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятностей одного из них на вероятность другого вычисленную при условии, что первое событие имело место.

Р(А*В)=Р(А)*Р(В/А)=Р(В)*Р(В/А)

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий причем вероятность каждого следующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.

Р(А1;А2…Аn)=Р(А1)*Р(А2/А1)*… *Р(Аn/А1,А2…Аn-1)

Условная вероятность — это вероятность некоторого события A, при условии наступления

некоторого другого события Н; записывается P(A|Н) и читается «вероятность A при условии Н», или «вероятность A при данном Н».  В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие Н – появление белого шара при первом вынимании. Событие А – появление белого шара при втором вынимании.

Решение. Очевидно, что вероятность события А, если событие Н произошло, будет  . 

Вероятность события А при условии, что событие В не произошло, будет  .

Формула полной вероятности.

П усть событие А выполняется только после того, как произойдет одно из событий Н1, Н2, и тд, образующих полную группу и называемых гипотезами. Тогда Р(А) находим по формуле полной вероятности.

Вероятность события вычисляем до того, как оно произошло, если в условии задачи становится понятно, что А происходило, то вероятности гипотез можно оценивать по формуле Байеса, при этом вероятности гипотез становятся условными.

Пример. Три организации представили в контрольное управление счета для выборочной проверки. Первая организация представила 15 счетов, вторая — 10, третья — 25. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций известны и соответственно равны: 0,9; 0,8; 0,85. Был выбран один счет и он оказался правильным. Определить вероятность того, что этот счет принадлежит второй организации.

Решение. Пусть   — события выбора счета у первой, второй и третьей организаций. Соответствующие вероятности будут

, ,

По формуле полной вероятности определяем вероятность выбора правильно оформленного счета

По формуле Байеса находим исходную вероятность

Схема Бернулли. Формула Бернулли. Теоремы Пуассона и Муавра-Лапласа.

Пусть производится n независимых испытаний. В каждом испытании событие происходит с вероятностью Р (успехом) и с вероятностью Q=1-P (неудача), тогда вероятность того, что событие произошло ровно k раз в n независимых испытаниях можно вычислить по формуле Бернулли.

Pn(k)=Ckn * pk * qn-k, n< либо = 10

Формула Пуассона.

Применяют, если n очень велико (1000 и тд), а р очень мало, при этом произведение n*p=ƛ<5. Р(k)=

Формула Лапласа (локальная)

Если n достаточно велико (>10), p и q не очень мало, при этом не превосходит 10

Рn(k) = , где х= , (приложение 1), (четная)

Рn(k1;k2) k1 k k2 (соб А в n независимых испытаниях произошло от k1 до k2 раз)

k2-k1<10

Интегральная формула Лапласа.

K2-k1 10, Pn(k1;k2) = , где

(приложение 2). (нечетная) при х>3