2 Прямое z-преобразование
сходится не для
всех последовательностей
Условие сходимости
z-преобразование
определяется
следующим образом
z=a+jb=zejw
z преобразование - это преобразование Фурье численной последовательности, умноженной на z-n(на модуль комплексной переменной)
при z по модулю = 1 z преобр-е переходит в преобр-е Фурье
Условия существования z-преобразования:
Абсолютное
суммирование последовательности:
.
Важный класс
z-преобразований
составляют те, которые являются
рациональными функциями, т.е. отношениями
полиномов:
Корни полинома числителя называются
нулями z-преобразований.
Корни полинома знаменателя называют
полюсами.
Ясно, что в области сходимости полюсов не должно быть. Область сходимости ограничивается полюсами.
Рассмотрим пример:
Нули: z=0; Полюс: z=a.
Теоремы о z-преобразованиях:
1. Линейность.
2.Сдвиг последовательности:
3. Свертка последовательностей: Образуем последовательность ω(n), как свертку двух последовательностей:
Z-преобразование совпадает с преобразованием Фурье на единичной окружности. В общем случае степенной ряд 1 Лорана будет сходиться в кольцевой области z-плоскости.
Билет 11.
1Обратное z-преобразование
Обратное z-преобразование выводится на основе теоремы Каши:
С – это контур с направлением обхода против часовой стрелки расположенный в области сходимости x(t) и окружающий начало координат.
Если
рациональная
функция, то значение интеграла удобно
вычислять с помощью теоремы о вычетах:
.
Представим:
Z0 – полюс порядка s, а ψ (z) не имеет полюсов в точке z=z0.
Частный случай: s=1.
Пример
Пусть n=-1
второй полюс
Существуют таблицы прямого и обратного преобразования. Удобно представить рациональную функцию в виде степенного ряда:
;
2Передаточная функция цифровых ЛИВ систем
- передаточная
функция фильтра.
В общем случае для устойчивого и физически реализуемого ЦФ область сходимости передаточной функции будет включать единичную окружность и всю z-плоскость вне окружности, включая z=∞.
Область сходимости
не содержит полюсов, значит для
устойчивости надо, чтобы все полюса
передаточной функции лежали внутри
окружности
Как известно ЦФ описывается разностным уравнением n-го порядка:
Воспользуемся свойством линейности:
Воспользуемся свойством сдвига последовательности:
Рассмотрим пример:
Пусть необходим ЦФ не пропускающий постоянную составляющую.
Возьмем z-преобразование от левой и правой части равенства:
Билет 12.
1 Распределения, связанные с нормальным
1.
.
Рассмотрим n
независимых случайных величин:
,-
каждая из которых подчиняется нормальному
распределению.
Образуем новую
случайную величину
-
это
с
n
степенями свободы(кол-во случ величин,
входящих в хи квадрат, каждая из которых
распределена нормально с нулевым мат
ожиданием и единичной дисперсией).
Существуют таблицы квантилей этого распределения.
Можно утверждать, что при n>30 распределение можно считать нормальным.
2. Распределение Стьюдента.
Пусть Y
и Z
независимые случайные величины, причем
Y
принадлежит распределению
,
а Z
– нормальному распределению.
-
коэффициент Стьюдента с n
степенями свободы.
Существует таблица квантилей этого распределения.
Можно утверждать, что при n>30 распределение Стьюдента совпадает с нормальным.
3. Распределение Фишера
Пусть
Y1,Y2 —
две независимые
случайные
величины, имеющие распределение
хи-квадрат:
,
где
.
Тогда распределение
случайной величины
,
называется
распределением Фишера (распределением
Снедекора) со степенями свободы d1
и d2.
Пишут
.
Теорема Фишера
Для выборки
объема
n
нормальной ГС Х с параметрами
т.е.
выборочная средняя
и выборочная
дисперсия
статистически
независимы. Причем
распределена нормально с параметрами
,
а величина
имеет распределение
степенями
свободы, т.е.
