3.5. Математические методы, используемые при функционировании метрологической системы
Помимо контрольно- измерительных, диагностических процедур и методов оценки точности результатов контроля и измерений, в процессе функционирования системы качества необходимо использовать и предусматривать методы оценки результативности, эффективности самой метрологической системы.
Математические методы, используемые при функционировании метрологической системы:
Поскольку при проведении метрологических и контрольных процедур необходимо учитывать случайные факторы, отклонения параметров и характеристик, непременным инструментом оценки должен быть аппарат теории вероятностей – раздел прикладной математики, изучающий закономерности в случайных явлениях. Как и в любой математической теории, объекты теории вероятностей (погрешности, случайные результаты измерений, экспертные оценки) являются абстракциями от реальных объектов, т.е. их математическими моделями.
Математическим аппаратом для обработки результатов измерения и контроля, оценки стабильности функционирования системы, отдельных процессов является математическая статистика – разработка рациональных методов обработки экспериментальных данных, полученных при определенных «фиксированных» условиях (в статике). Статистические данные также необходимы для исследования взаимосвязей и взаимозависимостей между влияющими (эксплуатационными, технологическими) факторами и выходными характеристиками, для прогнозирования ситуаций [62-66].
Для исследования закономерностей изменения параметров и характеристик во времени в условиях неопределенности под воздействием не только управляющих и корректирующих факторов, но так же внешних и внутренних возмущений, помех используются методы теории случайных функций.
Когда в анализируемой системе происходит процесс передачи, преобразования сигнала, для оценки целесообразно использовать теорию информации, позволяющую учитывать физические и вероятностные характеристики передаваемых сигналов и соответствующих помех. Ограниченное использование в метрологии объясняется тем, что необходимо знать характер сигнала на выходе заранее!!!
Для оптимизации процессов, их структуры, для оценки результатов измерения, когда нет достаточной информации для выбора решения, т.е. в условиях неопределенности, используют методы теории статистических решений. Наиболее удобными методами статистических решений являются [67] метод минимального риска (когда рассчитывается граничное значение параметра из условия минимума среднего риска – вероятности ложных тревог); метод минимального числа ошибочных решений; метод минимакса (используется, когда отсутствуют предварительные статистические сведения о вероятности оцениваемых ситуаций, оценивается совокупность наиболее критичных условий, приводящая к наибольшей вероятности ошибки)и т.д.
Для различных вариантов комбинаций значений влияющих факторов оцениваются выходные характеристики. Варианты исходных данных и полученный набор вариантов решений являются информационным массивом, из которого или с помощью которого выбирается решение. Одним из способов такого выбора может быть просто просмотр всех вариантов и выбор из них наиболее подходящего. При этом может возникнуть опасность выбора не наилучшего варианта, так как варианты содержат погрешности и неопределенности, кроме того, рассмотренные варианты исходных данных могут не содержать оптимального решения, если ему соответствуют промежуточные значения влияющих факторов. Частично эти недостатки могут быть устранены путем увеличения количества исходных вариантов для того, чтобы анализируемый информационный массив позволял проводить интерполяцию данных и оценку погрешностей.
Для того, чтобы выявить закономерности зависимости вариантов решений от варьируемых влияющих факторов, как правило, формируют многофакторную эмпирическую модель по экспериментальным данным. Решение таких задач относится к математическому направлению, которое носит название планирования экспериментов.
Также близкими к вышеназванному разделу прикладной математики являются методы оптимизации, с помощью которых решаются так называемые экстремальные задачи, суть которых состоит в отыскании максимального (например, заданного качественного уровня характеристик системы, процесса, изделия) или минимального (например, величины возникающего отклонения характеристик от номинальных значений, погрешностей) значения целевой функции на заданном множестве значений ее аргументов (влияющих факторов).
Для учета влияния изменения характеристик во времени целесообразно обратиться к такому разделу прикладной математики, как теория оптимального управления, позволяющему исследовать динамические модели и выработать оптимальные решения с учетом либо дискретного, либо непрерывного воздействия временных факторов.
Современные представления о расчете точности (погрешностей) основываются на теории множеств. Согласно этой теории, связи между объектами являются более важными, чем сами объекты.
В 60-е годы на стыке теории множеств и формальной логики американским математиком Л.Заде была сформулирована нечеткая логика (теория fussy множеств). Принадлежность элементов к тому или иному множеству определяется не в виде однозначных ответов да-нет (0, 1), а коэффициентами принадлежности функции (х), которые могут принимать любые промежуточные значения между нулем и единицей или посредством ответов «может быть», «вероятнее всего» и т.п. Такой подход позволяет использовать строгие математические процедуры теории множеств для формализации качественных, словесно выраженных значений характеристик анализируемой системы, ее отдельных элементов. К базовым понятиям нечеткой логики относятся понятия «нечеткое множество» и «лингвистическая переменная» (№1). Функции принадлежности, характеризующие нечеткое множество, могут быть заданы аналитически или графически. Принадлежность элемента х множеству Х обозначают как хХ. Принадлежность элемента х к множеству М, являющемуся подмножеством базисного множества Х, определяется функцией принадлежности М(х) (№2). Нечеткое множество характеризуется непрерывной функцией принадлежности, которая устанавливает каждому значению х степень его принадлежности к нечеткому множеству М, определяемому в общем случае выражением
Лингвистической переменной называют переменную, которая задана на количественной шкале базисной переменной х (например, значение экспертной оценки субъективной характеристики) и принимает значение в виде слова или словосочетаний. Отдельное значение лингвистической переменной называется лингвистическим термом (№3) и задается также с помощью функции принадлежности, т.е. каждому терму соответствует нечеткое множество.
Пусть такая погрешность установки объектива в кинопроекторе, как неперпендикулярность оптической оси объектива относительно плоскости кадрового окна, вызывает дополнительную нерезкость киноизображения, которая оценивается экспертами с помощью нечетких оценок «искажение незаметно», «едва заметное изменение», «заметно, но не мешает», «мешает. Совокупность М этих оценок рассматривается как лингвистическая переменная, принимающая перечисленные значения (термы). Лингвистическая переменная полностью определена, если заданы множество ее термов и соответствующих функций принадлежности (рис.27).
Рис.27. Функции принадлежности, характеризующие значения лингвистической переменной «дополнительно возникающая нерезкость киноизображения»