3.10 Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля

Определение 3.9. Точка х₀ называется точкой максимума (минимума) функции , если ( ) для всех из некоторой δ-окрестности точки .

Определение 3.9. Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстремума.



y=x² имеет минимум при х=0.



y=-|x-3| имеет максимум при х=3.



у=sinx имеет минимумы при и максимумы при .

Теорема 3.5. Теорема Ферма

Если функция определена в некоторой окрестности точки , принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) в рассматриваемой окрестности значение и имеет в точке производную, то .

Доказательство.

Пусть – наибольшее значение функции, то есть для любой точки выбранной окрестности выполняется неравенство . Тогда, если , а если ,

Переходя к пределу в полученных неравенствах, находим, что из первого из них следует, что , а из второго – что . Следовательно, .

Замечание. В теореме Ферма важно, что – внутренняя точка для данного промежутка. Например, функция , рассматриваемая на отрезке [0;1], принимает наибольшее и наименьшее значения соответственно при и , но ее производная в этих точках в ноль не обращается.

Теорема 3.6 Теорема Ролля

Если функция

1. непрерывна на отрезке [a,b];

2. дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка;

3. принимает равные значения на концах этого отрезка, то есть ,

то внутри интервала (a,b) существует по крайней мере одна точка , , такая, что .

Доказательство.

Пусть M и m – наибольшее и наименьшее значения на [a,b]. Тогда, если m = M, то f(x) = m = M – постоянная функция, и f′(x)=0 для любой точки отрезка [a,b]. Если же m<M, то по второй теореме Вейерштрассе хотя бы одно из значений m или M достигается во внутренней точке с отрезка [a,b] (так как на концах отрезка функция принимает равные значения). Тогда по теореме Ферма .

Замечание 1. В теореме Ролля существенно выполнение всех трех условий. Приведем примеры функций, для каждой из которых не выполняется только одно из условий теоремы, и в результате не существует такой точки, в которой производная функции равна нулю.

у у у

0 1 х 0 х -1 0 1 х

Рисунок 3.4 Рисунок 3.5 Рисунок 3.6

Действительно, у функции, график которой изображен на рисунке 3.4, , но – точка разрыва, то есть, не выполнено первое условие теоремы Ролля. Функция, график которой представлен на рисунке 3.5, не дифференцируема при , а для третьей функции (рисунок 3.6) f(-1)≠f(1).

Замечание 2. Геометрический смысл теоремы Ролля: на графике рассматриваемой функции найдется по крайней мере одна точка, касательная в которой параллельна оси абсцисс.