4.4 Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора

Найдем разложения по формуле Тейлора при а = 0 (точнее, по формуле Маклорена) функций

y = e^x, y = sin x, y = cos x, y = ln(1 + x), y = (1 + x)^m.

f(x) = е^х.

f(x) = f ′(x) = … = f ⁽ⁿ⁾(x) = e^x, следовательно, f(0) = f ′(0) = … = f⁽ⁿ⁾(0) = 1. Подставляя эти результаты в формулу (4.18), получим:

(4.20)

Отметим, что для любого х

f(x) = sin x.

Разложение по формуле Маклорена имеет вид:

(4.21)

В этом случае, как и в предыдущем, при всех значениях х

Можно предложить еще один вариант этой формулы:

. (4.22)

f(x) = cos x.

Таким же образом, как и для синуса, можно получить разложение по формуле Тейлора:

(4.23)

f(x) = ln(1 + x). Тогда

Следовательно,

(4.24)

5) f(x) = (1 + x)^m. При этом f ⁽ⁿ⁾(x) = m(m - 1)…(m – n + 1)(1 + x) ^m-n,

f ⁽ⁿ⁾(0) = m(m – 1)…(m – n +1). Тогда

(4.25)

Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений.

Заменяя какую-либо функцию, для которой известно разложение по формуле Тейлора, многочленом Тейлора, степень которого выбирается так, чтобы величина остаточного члена не превысила выбранное значение погрешности, можно находить приближенные значения функции с заданной точностью.



Найдем приближенное значение числа е, вычислив значение многочлена Тейлора (4.20) при n=8:

При этом

4.5 Условия возрастания и убывания функции. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия

В предыдущих лекциях использовались известные из курса элементарной математики понятия возрастающей и убывающей функций. Определим их еще раз.

Определение 4.1. Функция называется возрастающей (убывающей) на [a,b], если

таких, что x₁ < x₂, f(x₁) < f(x₂) ( f(x₁) > f(x₂) ).

Теорема 4.3. Необходимое условие возрастания функции

Если функция , дифференцируемая на [a,b], возрастает на этом отрезке, то на [a,b].

Если непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b), причем для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a,b].

Доказательство.

1. Пусть f(x) возрастает на [a,b]. Тогда при то есть Если же поэтому Следовательно, в обоих случаях Значит, что и требовалось доказать.

2. Пусть Выберем По теореме Лагранжа

Но по условию поэтому f(x₂) > f(x₁), следовательно, – возрастающая функция.

Замечание 1. Аналогичную теорему можно доказать и для убывающей функции:

Если убывает на [a,b], то на [a,b]. Если на (a,b), то убывает на [a,b].

Замечание 2. Геометрический смысл доказанной теоремы: если функция возрастает на отрезке [a,b], то касательная к ее графику во всех точках на этом отрезке образует с осью Ох острый угол (или горизонтальна). Если же функция убывает на рассматриваемом отрезке, то касательная к графику этой функции образует с осью Ох тупой угол (или в некоторых точках параллельна оси Ох).

Необходимое условие экстремума.

Теорема 4.4. Необходимое условие экстремума.

Пусть функция задана в некоторой окрестности точки . Если является точкой экстремума функции, то или не существует.

Доказательство.

Действительно, производная в точке либо существует, либо нет. Если она существует, то по теореме Ферма она равна нулю.



Функция y = x² имеет минимум при х = 0, причем (х²)′ = 2x = 0 при х = 0.



Минимум функции y = |x| достигается при х = 0, причем производная в этой точке не существует.

Замечание. Отметим еще раз, что теорема 4.4 дает необходимое, но не достаточное условие экстремума, то есть не во всех точках, в которых f ′(x) = 0, функция достигает экстремума.



У функции y = x³ y ′ = 3x² = 0 при х = 0, однако функция монотонно возрастает во всей области определения.

Определение 4.2. Если функция определена в некоторой окрестности точки и ее производная в этой точке равна нулю или не существует, точка называется критической точкой функции.

Теорема 4.4 означает, что все точки экстремума находятся в множестве критических точек функции.

Достаточные условия экстремума.

Теорема 4.5. Первое достаточное условие экстремума

Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки , дифференцируема в проколотой окрестности этой точки и с каждой стороны от данной точки f ′(x) сохраняет постоянный знак. Тогда:

если f ′(x) > 0 при x < x₀ и f ′(x) < 0 при x > x₀ , точка является точкой максимума;

если f ′(x) < 0 при x < x₀ и f ′(x) > 0 при x > x₀ , точка является точкой минимума;

если f ′(x) не меняет знак в точке , эта точка не является точкой экстремума.

Доказательство.

Справедливость утверждения 3) следует из теоремы 4.3. Докажем утверждения 1) и 2). По формуле Лагранжа f(x) – f(x₀) = f ′(ξ)(x – x₀), где х принадлежит окрестности точки , а ξ лежит между х и . Если f ′(ξ) > 0 при x < ξ < x₀ и f ′(ξ) < 0 при х₀ < ξ < x, приращение функции f(x) – f(x₀) < 0 по обе стороны х₀ , то есть в рассматриваемой точке достигается максимум. Если же производная при х = меняет знак с «+» на «-», точка является точкой минимума. Следовательно, изменение знака производной в точке является необходимым и достаточным условием наличия экстремума в этой точке.

Теорема 4.6. Второе достаточное условие экстремума

Пусть f ′(x₀) = 0 и у рассматриваемой функции существует непрерывная вторая производная в некоторой окрестности точки . Тогда является точкой максимума, если f ′′(x₀) < 0, или точкой минимума, если f ′′(x₀) > 0.

Доказательство.

Докажем первую часть теоремы. Пусть f ′′(x₀) < 0. Так как по условию f ′′(x) непрерывна, существует окрестность точки , в которой f ′′(x) < 0. Вспомним, что f ′′(x) = (f ′(x))′ , и из условия (f ′(x))′ < 0 следует, что f ′(x) убывает в рассматриваемой окрестности. Поскольку f ′(x₀) = 0 , f ′(x) > 0 при x < x₀ и f ′(x) > 0 при x > x₀. Тогда по теореме 4.5 точка является точкой максимума функции, что и требовалось доказать. Утверждение 2) доказывается аналогично.

Теорема 4.7. Третье достаточное условие экстремума

Пусть функция n раз дифференцируема в точке и f ^(k)(x₀) = 0 при k = 1,2,…, n-1, а f ⁽ⁿ⁾ (x₀) ≠ 0. Тогда, если n – четное число (n = 2m), функция имеет в точке х₀ экстремум, а именно максимум при f ^(2m)(x₀) < 0 и минимум при f ^(2m)(x₀) > 0. Если же n – нечетное число (n = 2m – 1), то точка не является точкой экстремума.

Доказательство.

Из формулы Тейлора (4.12) следует, что где ξ лежит между х и .

а) Если n = 2m – четное и f ^(2m)(x₀) < 0, то найдется окрестность точки х₀, в которой

f ^(2m) (x) < 0. Пусть х принадлежит этой окрестности, тогда ξ тоже ей принадлежит, то есть

f ^(2m)(ξ) < 0. Но (x – x₀)^2m > 0 при х ≠ х₀ , поэтому f(x) – f(x₀) < 0 во всей рассматриваемой окрестности, следовательно, точка х₀ является точкой максимума.

б) Если n = 2m – четное и f ^(2m)(x₀) > 0, то таким же образом доказывается, что – точка минимума.

в) Если n = 2m - 1 – нечетное, то (x – x₀)^2m-1 имеет разные знаки по разные стороны точки х₀. Поэтому в окрестности этой точки, в которой производная порядка 2m – 1 сохраняет постоянный знак, приращение функции меняет знак при х = . Следовательно, экстремум в этой точке не достигается.

Вывод: проверить наличие экстремума в критической точке можно тремя способами:

1. убедиться, что f ′(x) меняет знак при х = ;

2. определить знак f ′′(x₀) ;

3. если f ′′(x₀) = 0, исследовать порядок и знак производной, не обращающейся в 0 в рассматриваемой точке.



Определим тип экстремума функции при . Точка является критической, так как при . Так как при , а при , – точка минимума. Можно было установить этот факт и с помощью второй производной:

при . Следовательно, функция в этой точке достигает минимума (теорема 4.6).



Исследуем на экстремум функцию y = x⁵ + x³. y ′ = 5x⁴ + 3x² = x²(5x² + 3) = 0 при х = 0. При этом y′′ = 20x³ + 6x = 0 при х = 0, y′′′ = 60x² + 6 = 6 ≠ 0 при х = 0. Порядок первой ненулевой производной в точке х = 0 равен нечетному числу 3, следовательно, по теореме 4.7 функция не имеет экстремума в этой точке, а так как критическая точка единственна, функция вообще не имеет экстремумов.