32. Найвышэйшы складнік здабытку паліномаў ад некалькіх літар
АЗН. Аднасклад палінома больш высокі за астатнія наз. найвышэйшым аднаскладам.
СЦВ: Найвышэйшы складнік здабытку паліномаў f(x) і g(x) роўны здабытку найвышэйшых складнікаў f(x) і g(x).
► - найвышэйшы складнік f(x)
- найвышэйшы складнік g(x)
Няхай - некаторы иншы складник палинома g(x)
- ?
Няхай
- некаторы иншы складник палинома f(x)
Маем
,
дзе
- найвышэйшы складнік f(x)
i
g(x).◄
33. Сіметрычныя паліномы: азначэнне, уласцівасці
АЗН.
Няхай
,
-перастаноўка
мноства
.
Паліном f
наз. сіметрычным,
калі f
π.
Іншымі словамі, сіметрычны паліном не
змяняецца пры адвольнай перастаноўцы
літар.
Прыклад:
1.
=
– сіметрычны паліном
2.
-
несіметрычны паліном
Практыкаванне: Мноства усiх сiметрычных палiномау ад n-лiтар з’яул. падкольцам кольца.
34. Элементарныя сіметрычныя паліномы
АЗН. Няхай , -перастаноўка мноства . Паліном f наз. сіметрычным, калі f π. Іншымі словамі, сіметрычны паліном не змяняецца пры адвольнай перастаноўцы літар.
АЗН.
Элементарнымі
сіметрычнымі паліномамі
ад n-літар
мы будзем наз. наступныя палiномы
;
;
;
…;
.
Мноства
сіметрычных паліномаў ад n-літар
-
.
Т:
Няхай
.
►Вынікае з таго, што сума і здабытак сіметрычных паліномаў гэта сіметрычны паліном.◄
Прыклад:
.
35.Адзінасць выяўлення сіметрычнага палінома праз элементарныя сіметрычныя паліномы.
АЗН. Няхай , -перастаноўка мноства . Паліном f наз. сіметрычным, калі f π. Іншымі словамі, сіметрычны паліном не змяняецца пры адвольнай перастаноўцы літар.
АЗН. Элементарнымі сіметрычнымі паліномамі ад n-літар мы будзем наз. наступныя палiномы ; ; ; …; .
Мноства
сіметрычных паліномаў ад n-літар
-
.
Т: Элементарныя сіметрычныя паліномы ад n- літар алгебраічна незалежныя над К.
Т:
Няхай f
сіметрычны паліном ад n-
літар f
сіметрычны
паліном ад n-лiтар,
тады выяўленне палінома
з’яўл. адназначным.
► (ад
процілеглага): З аднаго баку
(1); з
другога боку
(2);
.
Калі
меркаваць, што
і
розныя паліномы ад
,
то мы тады атрымаем, што існуе паліном
ад n
- літар (ненулявы), пры падстаноўцы ў
каторай
мы
атрымалі нулявы паліном, а гэта супярэчыць
таму, што
-
алгебраічна незалежны паліном.◄
36. Найвышэйшы складнік сіметрычнага палінома
АЗН. Няхай , -перастаноўка мноства . Паліном f наз. сіметрычным, калі f π. Іншымі словамі, сіметрычны паліном не змяняецца пры адвольнай перастаноўцы літар.
АЗН. Элементарнымі сіметрычнымі паліномамі ад n-літар мы будзем наз. наступныя палiномы ; ; ; …; .
СЦВ:
Няхай
- найвышэйшы складнік, тады
.
►(ад процілеглага)
Няхай
(памен местамi)
?!супярэчнасць
таму, што α- найвышэйшы складнік.
◄
37. Асноўная тэарэма аб элементарных сіметрычных паліномаў
АЗН. Няхай , -перастаноўка мноства . Паліном f наз. сіметрычным, калі f π. Іншымі словамі, сіметрычны паліном не змяняецца пры адвольнай перастаноўцы літар.
АЗН. Элементарнымі сіметрычнымі паліномамі ад n-літар мы будзем наз. наступныя палiномы ; ; ; …; .
СЦВ: Няхай - найвышэйшы складнік, тады .
Т
(асноўная тэарэма аб элементарных
сіметрычных паліномаў): Няхай
,
тады f
выяўляецца як паліном ад элементарных
сіметрычных паліномаў
.
►Няхай
-
найвышэйшы складнік f.
Разгледзім
.
Шукаем
найвышэйшы складнік палінома
,
мы карыстаемся тым, што найвышэйшы
складнік здабытку палінома гэта здабытак
найвышэйшых складнікаў:
;
будзе мець найвышэйшы складнік, які
ніжэйшы за вышэйшы складнік
.
Далей находзiм
найвышэйшы складнік палінома
і будуем паліном
па такому ж самаму прынцыпу, што і паліном
,
будзе
мець найвышэйшы складнік, які ніжэйшы
за вышэйшы складнік
.
I
г. далей. Гэты працэс канечны, т.як існуе
толькі канечная колькасць складнікаў
ніжэй за найвышэйшы складнік палінома
,
каторыя могуць быць найвышэйшымі
складнікамі сіметрычных паліномаў. Мы
атрымаем палiном:
◄