38. Алгебраічная незалежнасць паліномаў.

АЗН. Няхай , -перастаноўка мноства . Паліном f наз. сіметрычным, калі f π. Іншымі словамі, сіметрычны паліном не змяняецца пры адвольнай перастаноўцы літар.

АЗН. Элементарнымі сіметрычнымі паліномамі ад n-літар мы будзем наз. наступныя палiномы ; ; ; …; .

АЗН. Няхай К - падкальцо камутатыўнага кальца Т, наз. алгебраічна залежнымі над К, калі .

Т: Элементарныя сіметрычныя паліномы ад n- літар алгебраічна незалежныя над К.

►ММІ па (колькасці літар)

n=1,

Будзем меркаваць, што сцвяржэнне выконваецца для элементарных сіметрычных паліномаў ад n- літар. Дакажам тады, што наша тэарэма выконваецца для элементарных сіметрычных паліномаў ад n- літар.

Доказ ад процілеглага. Няхай элементарныя сіметрычныя паліномы ад n- літар алгебраічна залежныя. Калі - алгебраічна залежныя . Сярод гэтых паліномаў выбярам такі, які мае найменьшую ступень:

(не з’яўл. нулявым паліномам), калі меркаваць процілеглае, то атрымаем:

.

Прычым , а гэта супярэчыць таму, што f паліном найменшай ступені (нуляваму паліному).

Разгл. калi : …; .

З дадзенай роўнасці вынікае, што элементарныя сіметрычныя паліномы ад (n-1) літар алгебраічна залежныя, а гэта супярэчыць меркаванню індукцыі.◄

39..Рэзультант

(Аднородная система значит, после = стаит 0.)

АЗН. Няхай P - поле, (1) (2) . Тады рэзультантам будзе наз. такi дэтэрмiнант:

(первые четыре записываем к-раз, след четыре n-раз)

Прыклад: .

Уласцівасці:

1. - аднародны паліном ступені к адносна . - аднародны паліном ступені n адносна .

► .

.◄

2. .

► атрымліваецца з з перастаноўкай радкоў. Т. чн. агульная колькасць радкоу калі радкі мяняюцца месцамі – знак мяняецца на процілеглы.◄

T: Няхай выгляду (1), (2) – карані палінома f(x) з некатарага пашырэння поля P, то тады .

► (*) (эту с-му записывать под , под , и т.д.)

Можна заўважыць, што ( ) - рашэнне (*). Праверым:

Паколькі аднародная сістэма, якая мае ненулявое рашэнне, значыць дэтэрмінант матрыцы = 0.

- паліном ад , старшы складнік - вольны складнік

( - карані палінома , т.як ) - дэтэрмінант, які супадае з дэтэрмінантам с-мы (*).

З тэар. Вiета:

x₁ x₂ … x_n= x₁ x₂ … x_n

◄