§ 10. Движение в медленно изменяющемся магнитном поле. Адиабатический инвариант

В типичных задачах электронной оптики, как правило, рас­сматриваются такие случаи движения, когда поле, действую­щее на частицу, сосредоточено в относительно узкой области пространства. В частности, при анализе вопросов магнитной фокусировки наибольший интерес представляют короткофокус­ные объективы. В таких системах магнитное поле сильно меняется на расстоянии, малом по сравнению с радиусом кривизны траектории; в результате траектория частицы, входя­щей в короткофокусную линзу, испытывает резкий излом на небольшом участке линзы. Именно это обстоятельство сбли­жает подобные электронные линзы с оптическими системами, в которых световой луч также резко меняет свое направление, преломляясь на границе двух сред.

Не меньший интерес представляет, однако, исследование противоположного случая движения частицы — движения в маг­нитном поле, которое медленно меняется вдоль пути частицы. Условие «медленности изменения» состоит в том, что радиус кривизны траектории должен быть мал по сравнению с раз­мерами области, в пределах которой вектор напряженности поля заметно меняется по величине или направлению. Мате­матически это условие записывается в виде

(10.1)

На небольшом участке пути в медленно меняющемся маг­нитном поле траектория частицы представляет собой винто­вую линию. Если вдоль этой траектории величина H изме­няется, то одновременно будет происходить изменение радиусов витков винтовой линии. Однако, кроме того, будет изменяться крутизна винтовой линии, иными словами, будет происходить изменение угла, который составляет траектория с направлением силовых линий. Подходя к области сильного магнитного поля, винтовая линия будет сжиматься, а в области слабого поля - растягиваться. Если частица выходит из района сравнительно слабого поля и подходит к области сильного поля и если ее начальная скорость составляет не слишком малый угол с направлением силовых линий, то произойдет отражение частицы от области сильного поля (рис. 10.1).

Такое поведение частицы легко разъяснить, рассмотрев силы, возникающие при ее движении в неоднородном магнитном поле. На малом участке пути движение частицы, очевидно, можно рассматривать как перемещение ларморовской окруж­ности вдоль силовой линии. "Если силовые линии параллельны друг другу, то в каждой точке окружности сила Лоренца направлена строго по радиусу и не может изменить продоль­ную компоненту скорости. В нарастающем поле (рис. 10.2), где силовые линии сходятся, появляется составляющая силы Лоренца, направленная перпендикулярно к плоскости лармо­ровской окружности. Эта составляющая стремится вытолкнуть частицу из области более сильного поля.

Рис. 10.1. Отражение частицы от области более сильного магнитного поля.

Рис. 10.2. Происхождение силы, тор­мозящей частицу в неоднородном магнитном поле.

Дополним изложенные качественные соображения простым расчетом, который позволит, однако, установить некоторые важные соотношения общего характера. Заряженная частица, движущаяся по ларморовской окружности, как известно, экви­валентна магнитному диполю с моментом

(10.2)

где i — элементарный круговой ток, обусловленный вращением частицы, и S — площадь ларморовской окружности. Дипольный момент направлен против поля.

Выражение (10.2) с помощью равенств (7.3) и (7.4) пере­писывается в виде

(10.3)

здесь v - компонента скорости, перпендикулярная к магнитному полю. Вводя обозначение

(10.4)

получим

(10.5)

Сила, действующая в неоднородном поле на диполь с момен­том , определяется известной формулой:

(10.6)

где координата z совпадает с направлением силовой линии. Работа силы F на участке пути dz приводит к изменению кинетической энергии W, связанной с движением частицы вдоль силовых линий:

(10.7)

Полная кинетическая энергия частицы в магнитном поле, т. е. величина W + W, остается постоянной и, следовательно,

(10.8)

откуда

(10.9)

Из последнего равенства получается окончательный результат:

(10.10)

Учитывая, что — угол, образованный векто­ром скорости и силовой линией, последнее равенство можно также записать в виде

(10.11)

Полученный результат обычно формулируют следующим образом: величина является адиабатическим инвариан­том движения. Введением термина «адиабатическая инвариант­ность» подчеркивается, что постоянство величины должно иметь место, когда параметры, определяющие движение час­тицы, меняются медленно, в соответствии с условием (10.1).

Следует указать, что величина не остается даже при­близительно постоянной, если условие (10.1) не выполнено, как, например, в тех задачах электронной оптики, где магнит­ное поле резко меняется на малых участках траектории.

Иллюстрацией рассмотренного общего принципа служит задача о «магнитной ловушке». На рис. 10.3 изображена система, в которой магнитное поле возрастает вдоль силовых линий в обе стороны от некоторой средней области, где величина H минимальна. Частицы, у которых скорость со­ставляет не слишком малый угол с направлением силовых линий, подходя к области усиленного поля, отражаются от нее и оказываются поэтому запертыми внутри магнитной системы.

Рис. 10.3. Схематическое изображение магнитной ловушки открытого типа.

Будем считать для простоты, что поле в средней обла­сти однородно. Пусть напряженность этого поля равна H₀, а максимальная напряженность в местах сгущения силовых линий («магнитных пробках») равна H_m; тогда в силу равен­ства (10.11)

(10.12)

или

(10.13)

Если выполнено условие

(10.14)

то частица не сможет пройти через область сгущения силовых линий (sin не может быть больше 1) и окажется запертой в магнитной системе. Напротив, частица, для которой sin < , не будет задерживаться внутри ловушки.

Сделанные утверждения часто высказываются в несколько иной форме. Если в пространстве импульсов вектор начальной скорости частицы, находящейся в ловушке, лежит в «конусе потерь», то частица покинет ловушку. В противном случае она будет удерживаться магнитным полем пробок. Угол раствора конуса потерь определяется равенством

Замечательно, что магнитные ловушки подобного рода реа­лизуются в природных условиях, в магнитном поле Земли и некоторых других планет; их свойства рассмотрены вкратце в следующем параграфе. С другой стороны, в настоящее время привлекает все большее внимание вопрос о сооруже­нии и исследовании искусственных магнитных ловушек, что связано с поисками путей к созданию управляемых термо­ядерных реакций. К этой теме мы вернемся при обсуж­дении применений физики плазмы.

Рис. 10.4. Дрейф в неоднородном магнитном поле. Напряженность поля убы­вает вдоль оси у; поле перпендикулярно к плоскости рисунка.

До сих пор предполагалось, что движение частицы в слабо неоднородном магнитном поле слагается из вращения по ларморовской окружности и перемещения вдоль силовых линий. В действительности кроме этих двух основных движений, происходящих с большой скоростью, частицы совершают также значительно более медленное «дрейфовое» движение. При таком движении частицы как бы скользят в направлении, перпендикулярном к силовым линиям.

Рассмотрим простейший случай дрейфового движения. Пусть (рис. 10.4) магнитное поле направлено перпендикулярно к плоскости рисунка и его величина убывает вдоль оси у; предположим, кроме того, что вектор скорости частицы лежит в плоскости рисунка. Очевидно, что траектория частицы теперь уже не будет представлять собой замкнутую окружность, так как радиус кривизны в верхней части каждого витка больше, чем в нижней. В результате частица будет постепенно пере­мещаться - дрейфовать вдоль оси х. Определим, с какой сред­ней скоростью происходит это движение, т. е. вычислим ско­рость дрейфа.

Для радиуса кривизны в произвольной точке М траектории справедлива формула

(10.15)

где - угол между осью абсцисс и касательной к траектории в данной точке, а ds - элемент длины траектории; знак минус в формуле (10.15) отвечает убыванию угла при возрастании s. Далее имеем очевидные соотношения:

Разлагая в ряд выражение для радиуса кривизны по степеням у, получим

(10.16)

Смещение траектории вдоль оси х на протяжении одного витка определится из равенства

(10.17)

Среднюю скорость перемещения частицы в направлении оси х, т. е. скорость дрейфа, мы найдем, разделив величину х на период обращения Т:

(10.18)

Радиус кривизны обратно пропорционален магнитному полю, следовательно,

(10.19)

и формула (10.18) перепишется:

(10.20)

При выполнении условия (10.1), которое относится к слабо неоднородным полям, получим

(10.21)

В рассмотренном примере принималось, что частица обла­дает только слагающей скорости, ориентированной перпенди­кулярно к магнитному полю. Предположим теперь, что в начальный момент попереч­ная слагающая скорости рав­на нулю и скорость частицы направлена вдоль силовой линии. Если поле неоднород­но, то в общем случае си­ловые линии будут изогнуты. Движение частицы по слабо изогнутой силовой линии так­же приводит к дрейфу в направлении, перпендикуляр­ном к силовым линиям. Про­исхождение дрейфового дви­жения в этом случае можно разъяснить с помощью рис. 10.5. Частица движется в данный момент времени строго вдоль си­ловой линии, не испытывая действия никакой силы. Если, однако, силовая линия поворачивается, то частица по инерции откло­няется от нее и вектор скорости начнет составлять некоторый угол с вектором магнитного поля. В результате возникает сила, направленная под прямым углом к плоскости, в которой лежат оба вектора, v и Н. Эта сила и вызовет дрейфовое движение, направленное перпендикулярно к силовым линиям. Вычисление скорости дрейфа в данном случае приводит к следующей формуле:

(10.22)

где R - радиус кривизны силовых линий и - ларморовская частота.

Рис. 10.5. Дрейф в неоднородном маг­нитном поле (частица «соскальзывает» с силовых линий и выходит из плоскости рисунка).

В общем случае, при произвольной ориентации вектора скорости относительно направления слабо неоднородного поля, в пространстве, свободном от токов, скорость дрейфа по вели­чине и направлению определяется по формуле

(10.23)

Здесь h — единичный вектор вдоль направления Н.

Из последнего равенства следует, что дрейфовая скорость всегда направлена под прямым углом как к силовым полям, так и к вектору gradH. Следует иметь в виду, что, несмотря на малую величину скорости и, в тех случаях, когда частица вынуждена двигаться в ограниченной области пространства, оставаясь в ней в течение длительного времени, дрейфовое движение может существенным образом сказаться на характере траектории.