§ 12. Фокусировка в поперечных электрических и магнитных полях. Сильная фокусировка

Электронно-оптические приборы, в которых движение заря­женных частиц происходит под действием электрических или магнитных полей с аксиальной симметрией, появились в резуль­тате перенесения на новую почву понятий и методов, заимство­ванных из тех разделов обычной геометрической оптики, к ко­торым относятся свойства центрированных оптических систем. Однако возможности электронной оптики не исчерпываются применением аксиальных полей и выходят далеко за рамки простого переноса идей, на основе которых ранее развивалось оптическое приборостроение.

Мы рассмотрим сейчас некоторые из методов, которые при­меняются в настоящее время для фокусировки пучков заряжен­ных частиц в поперечных электрических и магнитных полях, резко отличающихся по своим свойствам от полей с аксиаль­ной симметрией.

Заметим, прежде всего, что фокусировка пучка заряженных частиц, расходимость которого лежит в одной плоскости, может быть достигнута с помощью однородного электрического поля, создаваемого плоским конденсатором. На рис. 12.1 изображены траектории частиц положительного знака, образующих моноки­нетический пучок, лежащий в плоскости ху и обладающий уг­ловой расходимостью е. Однородное электрическое поле направ­лено в сторону отрицательной оси у. Если напряженность поля равна Е, начальный потенциал, которым ускорены ионы, равен 1}0 и средняя траектория образует с осью х угол р, то ионы, при­надлежащие к такому пучку, при достаточно малом значении р

будут фокусироваться в точке с координатами

(12.1)

где

(12.2)

(12.3)

Указанные выражения для координат фокуса легко полу­чаются из уравнения траекторий частиц в однородном электри­ческом поле.

Рис. 12,1. Фокусировка в поперечном однородном электрическом поле.

Для фокусировки плоских пучков более удобным, однако, оказывается использование электрического поля, создаваемого цилиндрическим конденсатором. В таком поле могут существо­вать траектории частиц, совпадающие с эквипотенциальными линиями. Для плоского пучка эти траектории представляют собой окружности. Частица будет двигаться внутри конден­сатора вдоль окружности радиуса г0, если удовлетворяется условие

(12.4)

В поле цилиндрического конденсатора

(12.5)

Постоянная а определяется разностью потенциалов V,

приложенной между пластинами конденсатора:

где г! и г2 — радиусы пластин. Условие (12.4) можно поэтому записать в следующем виде:

(12.7)

Для частиц, удовлетворяющих этому условию, любая окруж­ность в пространстве между пластинами конденсатора является возможной траекторией, если начальная скорость частицы на­правлена вдоль окружности. Рассмотрим траекторию, близ­кую к одной из таких окруж­ностей.

В полярных координатах уравнения движения частицы в поле цилиндрического конден­сатора имеют следующий вид:

(12.8) (12.9)

Рис. 12.2. Фокусировка пучка заря­женных частиц в поле цилиндриче­ского конденсатора.

Пусть в момент времени г — 0, когда частица находится в точке А (рис. 12.2), выполняется условие (12.4). В таком случае

(12.10)

С точностью до величин второго порядка малости

Следовательно,

(12.11)

(12.12)

Полагая г = г0 + и, где « — малая величина, и используя ра­венство (12.9), получаем после несложных преобразований сле­дующее уравнение для «:

Отсюда

(12.13) (12.14)

В первом приближении

(12.15) Поэтому уравнение траектории имеет вид

(12.16)

Угол ф отсчитывается от линии О А. Величина и0 может быть найдена из начальных условий. Вблизи точки А

(12.17)

Следовательно,

(12.18)

Уравнение (12.16) характеризует фокусирующие свойства поля цилиндрического конденсатора. Отметим некоторые след­ствия, вытекающие из этого уравнения.

1. Пучок частиц, источником которого является точка А, находящаяся внутри конденсатора, будет сфокусирован в точке В после поворота на угол, равный я/1/2, т. е. на 127,3°.

2. Если разрезать конденсатор по линии ОО (биссектриса угла п/1/2) и удалить его вторую часть, то выходящий из конденсатора пучок будет параллельным. Отсюда следует, что параллельный пучок, входящий в цилиндрический конденсатор, будет сфокусирован после поворота на угол тг/2|/2, т. е. на

63,6°.

В общем случае цилиндрический конденсатор, расположен­ный на пути плоского пучка заряженных частиц с достаточно малой угловой расходимостью, ведет себя как некоторая ком­бинация цилиндрической линзы, которая фокусирует частицы, и призмы, поворачивающей пучок. Поля рассматриваемого типа широко применяются в масс-спектроскопии.

Рассмотрим еще один интересный и важный случай движе­ния частиц в поперечных полях. Речь будет идти о так на­зываемой «сильной» фокусировке пучков заряженных частиц с помощью квадрупольных линз, создающих поля гиперболиче­ского типа.

Остановимся сначала на фокусировке в электрическом поле. Электрическая квадрупольная линза получается с помощью системы электродов, изображенной на рис. 12.3. В сечении, перпендикулярном к оси 2, электроды имеют форму гипербол; потенциал на электродах чередуется. В пространстве между электродами распределение потенциала будет зависеть от

93

координат л и _у по закону

(12.19)

Постоянная а равна 1}ь1№, где 1^ — напряжение, приложенное к системе, Ь — половина расстояния между противолежащими

Рис. 12.3. Расположение хюкчроло» метрической квадрупольной линзы.

электродами. Составляющие напряженности поля определятся выражениями

(12.20)

Силовые линии гиперболического поля изображены на рис. 12.4. Если внутрь линзы впустить положительную частицу так, чтобы ее начальная скорость была направлена приблизительно вдоль оси г, то частица окажется под действием силы, которая будет фокусировать ее траекторию в направлении, параллельном оси х, и дефокусировать в направлении, параллельном оси у.

Найдем проекции траектории частицы на плоскости хг и уг. В плоскости хг уравнение движения имеет вид

<12х а

____ — _______ ГХ-Н-

, л — — ил.

&2 т

(12.21)

Продольная скорость частицы при движении в поперечном поле не изменяется; обозначим ее через УО. Переходя в уравнении (12.21) от переменной { к переменной 2, получим следующее уравнение проекции траектории на плоскость х.г:

(12.22)

94

Здесь где 1/0 — ускоряющий потенциал,

пройденный частицей до входа в линзу. Из (12.22) следует:

(12.23)

где х0 и Хо — значения х и Л.хД/2 при 2 = 0, на входе в квад-рупольный конденсатор. Если частица входит в конденсатор

параллельно оси г, то

(12.24)

На выходе из конденсатора, в точке г = /, величины х и У для той же частицы определятся равенствами

(12.25|

При р1 < к/2 проекция траекто­рии будет пересекать ось за пределами конденсатора в неко­торой точке М (см. рис. 12.5, в) на расстоянии

Рис. 12.4. Силовые линии гипер­болического поля.

от края конденсатора. Как мы видим, положение точки М не зависит от величины х0 и, следовательно, в плоскости Х2

Рис. 12.5, Проекции траектории частицы в гиперболической линзе на пло­скости х2 и уг.

ее можно считать фокусом электрической линзы; в ней пересе­каются проекции траекторий, входящих в поле квадрупольного конденсатора параллельно оси г.

95

Найдем величину фокусного расстояния /х в плоскости хг. Согласно правилам геометрической оптики для этого надо продолжить по прямой луч, проходящий через точку М, до его пересечения с продолжением входящего луча и провести через точку пересечения плоскость, перпендикулярную к оси г. Эта плоскость (задняя, главная плоскость линзы, на языке геометри­ческой оптики) пересечет ось 2 в точке N. Расстояние МТУ и будет фокусным расстоянием линзы. Очевидно,

(12.26)

Повторяя весь ход рассуждений применительно к проекции траектории частицы на плоскость уг, мы приходим к следую­щим результатам. Уравнение движения имеет вид

(12.27)

Уравнение траектории:

(12.28)

Решение этого уравнения для частицы, входящей в линзу параллельно оси г (т. е. при у'0 = 0), дается выражением

(12.29)

Фокусное расстояние /у в плоскости уг отрицательно, т. е. рассматриваемая система действует как рассеивающая линза {см. рис. 12.5, б):

(12.30)

Предположим теперь, что на некотором расстоянии от рассмотренного квадрупольного конденсатора на оси г имеется второй такой же конденсатор, электрическое поле которого по­вернуто на 90° по отношению к первому (рис. 12.6). Геометри­ческие размеры и напряжения на обоих конденсаторах мы будем считать одинаковыми.

Выясним действие такой системы на проходящий пучок частиц; для определенности будем считать частицы заряженными положительно. В общем случае расчет траектории оказывается довольно громоздким и окончательные формулы не обладают наглядностью. В целях упрощения сделаем допущение, что оба конденсатора обладают свойствами тонких линз- Это означает, что их длина / мала по сравнению с фокусным расстоянием. Легко убедиться, что это условие выполнено, если р1 <^ 1.

Действительно, тогда следоват

Заметим, что при р\ ^ 1 величины /х и — Д отличаются друг от друга только членом третьего порядка малости, и по­этому мы можем положить

(12.31)

Рассматриваемая комбинация электрических лит по своим фокусирующим свойствам и п.юскосчм х: >квина. кми на сисюмс

Рис. /_?.<•). (. и^1ема и* „шу\ квалр^иольных конденсаторов, .элекфические поля которых повернуты на 90° одно относительно другого.

из двух оптических тонких линз, изображенных на рис. 12.7, а, а в плоскости уг ее оптическим аналогом является система, изображенная на рис. 12.7,6. В первом случае на пути пучка лучей расположена сначала собирающая, а затем рассеивающая линза, во втором — линзы поменялись местами. Как нетрудно убедиться, в обоих вариантах система из двух линз при не слишком большом расстоянии «1 между ними обладает собираю­щим действием по отношению к падающему на нее пучку лучей. Причиной этого, в конечном счете, является то обстоятельство, что лучи проходят через собирательную линзу на большем рас­стоянии от оси, чем через рассеивающую, и эффект фокуси­ровки преобладает над эффектом дефокусировки.

Вычислим фокусное расстояние Рх для оптической системы, изображенной на рис. 12.7, а, в предположении, что расстояние

между линзами меньше, чем фокусное расстояние / отдельной

Гчс. 12.1. Оптическая аналогия системы квадрупольных электрических линз.

а] Фокусировка в плоскости хг. 6) Фокусировка в плоскости уг. Фокусные

расстояния совпадают (Рх — ру), но положения фокусов (точки М) и главных

плоскостей (К№) совершенно разные.

линзы. Из подобия треугольников КNМ и ОВМ и треуголь­ников ЕА С и ВВС получаем

откуда

Уравнение второй (рассеивающей) линзы в стандартных обозна­чениях геометрической оптики имеет вид

Здесь а1 и а2 — расстояния от центра линзы (которая пред­полагается тонкой) до объекта и до изображения. В данном случае на линзу падает сходящийся пучок лучей; поэтому за расстояние от линзы до объекта следует принять отрезок ВС со знаком минус. Таким образом, ЕС =/— Л = - а^ Комбинируя

написанные равенства, получим

(12.32)

Аналогичный расчет для системы, изображенной на рис. 12.7,6, показывает, что и в этом случае для Ру справедлива формула (12.32).

Таким образом, система из двух квадрупольных электри­ческих линз с полями, повернутыми на 90°, обладает фокусиру­ющим действием как в плоскости кг, так и в плоскости уг, причем фокусные расстояния одинаковы для обеих проекций тра­ектории. Заметим, что результирующий эффект фокусировки для рассматриваемой системы линз имеет происхождение, ана­логичное фокусирующему действию обычной электрической

Рис. 12.8. Четырехполюсный магнит с гиперболическими полюсами.

линзы с осевой симметрией (см. рис. 3.2), в обоих случаях она возникает вследствие разностного эффекта.

Описанный метод фокусировки пучков может быть с успе­хом использован при замене электрических полей магнитными полями аналогичной структуры. Квадрупольный конденсатор за­меняется при этом на квадрупольную магнитную линзу и в пространстве между полюсными наконечниками создается маг­нитное поле гиперболического типа. Рассмотрим прохождение заряженной частицы через такую магнитную линзу (рис. 12.8).

Составляющие вектора Н равны соответственно:

где Ь — константа, зависящая от намагничения полюсов и рас­стояния между ними. Уравнения движения будут:

(12.34)

Эти уравнения по своему характеру тождественны с уравне­ниями (12.21) и (12.27). Поэтому для количественной харак­теристики фокусирующего действия системы из двух квадруполь-ных магнитных линз можно с полным правом применять формулы (12.31) и (12.32), полученные для системы электрических линз. Постоянная р, фигурирующая в этих формулах, для магнитной системы равна

Магнитные квадрупольные линзы обладают большим пре­имуществом по сравнению с электрическими при использовании их для фокусировки частиц высокой энергии. Для частиц, дви­жущихся со скоростью, близкой к скорости света, т. е. при УО % с, фокусирующие силы магнитной и электрической квад-рупольных линз сравняются, если константа а в выражении р для электрической линзы

численно равна константе Ъ в выражении р для магнитной линзы:

Но равенство этих констант означает равенство напряженностей обоих полей на одинаковых расстояниях от оси г (в гауссовой системе единиц). Следовательно, фокусирующая сила будет одинакова, если Е — Н. В настоящее время технически вполне осуществима конструкция магнитных линз с полем от 10* до 10 э. Напряженность поля электрической линзы с таким же фо­кусным расстоянием должна составлять от 3-106 до 3-107 в/см, что практически неосуществимо.

В связи со сказанным магнитные квадрупольные линзы широко используются в ускорительной технике и в ядерной физике. Сам метод сжатия электронных или ионных пучков гиперболическими полями получил название «сильной» или «жесткой» фокусировки, в противоположность рассмотренной

в § 8 «слабой» фокусировке, которая сопровождается поворо­том траекторий на углы порядка 180° в поперечном поле. Можно сказать, что блестящие успехи ускорительной техники за последние 10—15 лет в основном связаны с применением принципа сильной фокусировки. В главе IV мы вернемся к этому вопросу.

Естественно поставить вопрос: возможно ли использование системы квадрупольных линз не только для сжатия пучков,

Рис. 12.9. Система квадрупольных линз, лишенная астигматизма. Положе­ния главных плоскостей (Нх и Й„) и величины фокусных расстояний в обеих плоскостях (хг и >'з) сильно отличаются. Увеличения также различны (а Ф р).

но и для получения полноценных изображений в электронных или ионных пучках? На этот вопрос можно дать следующий ответ. В каждой из двух координатных плоскостей, взятых по отдельности, такая система обладает всеми необходимыми свойствами для получения оптических изображений объектов в параксиальных лучах. Но при падении на рассматриваемый «дублет», составленный из квадрупольных линз, параллельного или выходящего из точки пучка, на выходе из системы пучок лучей будет, в общем случае, астигматичен, несмотря на равенство фокусных расстояний Рх и Ру в обеих плоскостях. Как видно из рис. 12.7, а и б, это является следствием различия в положе­нии главных плоскостей при фокусировке во взаимно перпен­дикулярных направлениях. Правда, подбирая искусственным путем силу линз и геометрические параметры системы, можно добиться того, чтобы параллельный пучок собирался в точку (рис. 12.9). Положение главных плоскостей и величины фокус­ных расстояний для обоих направлений при этом сильно отли­чаются. Различными оказываются и увеличения, что видно из неравенства углов, под которыми сходятся лучи в обеих коорди­натных плоскостях в фокальной точке. Подробный анализ

101

показывает, что путем дальнейшего усложнения оптических систем (построения триплетов, квадруплетов и т. д.) можно до­биться близости увеличения и совпадения главных плоскостей и фокусных расстояний.

Важнейшим преимуществом квадрупольных линз является их большая фокусирующая сила; физически это связано с тем обстоятельством, что основное поле здесь является поперечным по отношению к пучку. Поэтому в случае квадрупольных линз работает как бы фокусировка «первого порядка» в отличие от фокусировки «второго порядка» в системах с осью симметрии. Там основное поле направлено вдоль пучка и фокусировка идет за счет малых поперечных составляющих поля.

Кроме большой фокусирующей силы, благодаря которой рассматриваемые системы успешно применяются, как уже было сказано, при транспортировке пучков высоких энергий в ускори­телях, они обладают еще некоторыми преимуществами. В ряде случаев полезно создавать астигматические пучки; так, весьма целесообразно применение клинообразного пучка в масс-спект-роскопии. Для увеличения интенсивности желательно на входной щели располагать пучком, имеющим достаточно большую вы­соту и малую расходимость по вертикали. В горизонтальном направлении, в котором происходит разделение по массам, раз­меры (ширина) пучка на входной щели должны быть очень малы. Такой пучок легко сформировать с помощью квадрупольных линз. В электронной микроскопии возникает обратная задача, здесь требуется уничтожить астигматизм пучка. Для этой цели также применяются корректоры, построенные из квадрупольных линз.

К преимуществам квадрупольных линз относится воз­можность устранения в них хроматической и сферической аберра­ции. В настоящее время делаются попытки осуществления та­ких систем. Недостатком квадрупольных линз является большая сложность их изготовления и установки по сравнению с обыч­ными линзами.