20. Понятие устойчивости. Условия устойчивости динамических систем.

Назначением систем управления является поддержание некоторого заданного режима функционирования управляемой системы, называемого невозмущенным движением.

Если на систему действует возмущение, то фактическое движение (которое называется возмущенным движением) будет отличаться от невозмущенного движения.

Понятие устойчивости - важнейшее понятие теории управления. Невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым, если после окончания действия возмущения возмущенное движение с течением времени стремится к невозмущенному движению.

Для линейной невозмущенной системы описание задается системой дифференциальных уравнений. , где А – квадратная матрица n на n.

Для того чтобы система была устойчива, необходимо, чтобы все коэффициенты ее характеристического полинома были строго одного знака. Характеристический полином вычисляет как определитель (А–vE).

Основное условие устойчивости: для того чтобы система управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми, т.е. имели отрицательную вещественную часть.

Теорема: Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы А лежали в левой полуплоскости. Такая матрица называется Гурвицевой.

Если динамическая система управления устойчива, то абсолютная величина действительной части наиболее левого собственного значения матрицы А(корня Фробениуса-Перрона) называется степенью устойчивости динамической системы.

21. Теоремы теории устойчивости Ляпунова.

Практически все системы управления являются нелинейными, а линейные системы управления следует рассматривать как приближенные, линеаризованные модели нелинейных систем. Ляпунов в своей работе впервые поставил и решил вопрос о том, можно ли судить об устойчивости нелинейной системы на основании исследования устойчивости ее линеаризованной модели. В итоге он вывел 3 теоремы:

1) Если все корни характеристического уравнения линеаризованной модели являются левыми, то невозмущенное движение соответствующей нелинейной системы асимптотически устойчиво.

2) Если среди корней характеристического уравнения линеаризованной модели имеется правый корень, то невозмущенное движение соответствующей нелинейной системы неустойчиво.

3) Когда среди корней характеристического уравнения линеаризованной модели имеются нейтральные корни (корни на мнимой оси), но нет правых корней, по линеаризованной модели нельзя судить об устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы. Этот случай называют критическим.

22. Степень устойчивости. Критерии устойчивости.

Понятие устойчивости - важнейшее понятие теории управления. Невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым, если после окончания действия возмущения возмущенное движение с течением времени стремится к невозмущенному движению.

Если динамическая система управления устойчива, то абсолютная величина действительной части наиболее левого собственного значения матрицы А (корня Фробениуса-Перрона) называется степенью устойчивости динамической системы.

Основные критерии устойчивости:

Критерий Рауса: для формулировки этого критерия составляется т. н. таблица Рауса. По числу перемен знаков элементов первого столбца этой таблицы определяется количество левых и правых корней рассматриваемого полинома.

Критерий Гурвица: Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы определители Гурвица, составленные из коэффициентов ее характеристического уравнения, при a0 были больше нуля.

Критерий Льенара-Шипара: При выполнении необходимого условия устойчивости для устойчивости системы управления необходимо и достаточно, чтобы все ее определители Гурвица с четными индексами (или все ее определители Гурвица с нечетными индексами) были положительными.