7.Теорема Лапласа.
Величина любого определителя числено равна сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраическое дополнения.
2 -1 3 2А11+(-1)А12+3А13=
4 2 2 =
3 4 5
8.Системы линейных алгебраических уравнений
Рассмотрим СЛУ, у которой m уравнений и n неизвестных
-две системы линейных уравнений равносильны, если их множество решений совпадает
-решением СЛУ является совокупность чисел от 1 до n, которое обращает каждое уравнение в тождество
-СЛУ совместна, если имеет хотя бы 1 решение(опредеоенная;если больше1-го реш-неопредеенная), иначе несовместна
9.Решение слу с помощью обратной матрицы.
Запишем СЛУ в матричном виде:АХ=В(где А-матрица системы,сост.из коэф.,стоящих пред неизвестными;В-матрица- столбец,состоящая из элементов,стоящи в правой части СЛАУ;Х-матрица-столбец,сотст-ая из неизвестных Х1,Х2,Х3)
Для решения СЛАУ мат.мет:
1.выпишем матрицу системыА
2.найдем опр-ль
а)если опр-ль =0,то решений нет
б)если опр-ль≠0,то:
3.находим обратную матрицу Аˉ¹ к матрице системы
4.и т.к. справделиво АХ=В <=>Аˉ¹=АХ=Аˉ¹В<=>ЕХ=Аˉ¹В<=>Х=Аˉ¹В,то мы нашли матрицу-столбец Х,а след-но и неизвестные
ПРИМЕР:
Решение: Запишем систему в матричной форме:
,где
если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице А нужно было бы поставить нули.
Обратную матрицу найдем по формуле:
Согласно формуле нужно найти обратную матрицу Аˉ¹ и выполнить матричное умножение Аˉ¹b .
Обратную матрицу найдем по формуле:
,где
-
транспонированная
матрица алгебраических дополнений
соответствующих элементов матрицы А
.
Сначала разбираемся с определителем:
Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров
Т.о:
-матрица
миноров соответствующих элементов
матрицы А.
-матрица
алг.доп.
-транспон.мат
алг.доп.
Теперь записываем обратную матрицу:
А вот внести минус в матрицу в данном случае очень даже нужно, это, наоборот – упростит дальнейшие вычисления.
Осталось провести матричное умножение
10.Решение слау по фор-ам Крамера.
11.Метод джордна-гауса
Решить методом Жордана-Гаусса систему уравнений:
Решение
Составим сначала соответствующую таблицу:
Составим сначала соответствующую таблицу:
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
bi |
∑ |
contr |
3 |
4 |
[1] |
2 |
3 |
13 |
|
6 |
8 |
2 |
5 |
7 |
28 |
|
9 |
12 |
3 |
10 |
13 |
47 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
13 |
13 |
0 |
0 |
0 |
[1] |
1 |
2 |
2 |
0 |
0 |
0 |
4 |
4 |
8 |
8 |
3 |
4 |
1 |
0 |
1 |
9 |
9 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
2 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1.
Разрешающим элементом изберем коэффициент
при х3
в
первом уравнении. Он единственный
равняется единице (в рамке).
2.
Разрешающая строка (первый) и разрешающий
столбец сразу записываем в таблицу.
3.
Заполняем вторую строку таблицы,
используя формулу.
Начнем с элемента
b21.
В предыдущей таблице находим элементы,
которые стоят на пересечении первой и
второй строк с первым и третьим столбцами
и
образовываем
из них определитель:.
Напомним, что
произведение разрешающего элемента
на тот, что стоит на его диагонали,
всегда берется со знаком «+». Аналогично
для нахождения b22
имеем
определитель;
для
;
.
Дальше
делаем проверку. Находим по аналогичному
правилу элемент, который должны стоять
во второй строке и в столбце ∑. Это
будет
.
Записываем это значение в столбец
contr.
Вычисляем сумму элементов,
которые стоят во второй строке к столбцу
∑: 0+0+1+1=2. Добытая сумма совпадает с
соответствующим элементом столбца
contr, поэтому коэффициенты второй строки
таблицы найдено правильно.
4. Аналогично
предыдущему находим элементы третьей
строки:
Получив
таким образом коэффициенты bkl,
запишем их в таблицу ниже от первой
горизонтальной черточки. На пересечении
второй строки и четвертого столбца
этой таблицы стоит 1. Выберем ее за новый
разрешающий элемент. Выполнив процедуру
нахождения , получим окончательную
таблицу коэффициентов
1. Разрешающим элементом изберем коэффициент при х3 в первом уравнении. Он единственный равняется единице (в рамке).
2. Разрешающая строка (первый) и разрешающий столбец сразу записываем в таблицу.
3. Заполняем вторую строку таблицы, используя формулу .
Начнем с элемента b21. В предыдущей таблице находим элементы, которые стоят на пересечении первой и второй строк с первым и третьим столбцами и образовываем из них определитель: .
Напомним, что произведение разрешающего элемента на тот, что стоит на его диагонали, всегда берется со знаком «+». Аналогично для нахождения b22 имеем определитель ; для ; .
Дальше делаем проверку. Находим по аналогичному правилу элемент, который должны стоять во второй строке и в столбце ∑. Это будет . Записываем это значение в столбец contr.
Вычисляем сумму элементов, которые стоят во второй строке к столбцу ∑: 0+0+1+1=2. Добытая сумма совпадает с соответствующим элементом столбца contr, поэтому коэффициенты второй строки таблицы найдено правильно.
Аналогично предыдущему находим элементы третьей строки:
Получив таким образом коэффициенты bkl, запишем их в таблицу ниже от первой горизонтальной черточки. На пересечении второй строки и четвертого столбца этой таблицы стоит 1. Выберем ее за новый разрешающий элемент. Выполнив процедуру нахождения , получим окончательную таблицу коэффициентов