22.Смешанное произведение и его свойства.
Определение. Смешанным произведением векторов а, в и с называется число, равное скалярному произведению вектора а на вектор, равный векторному произведению векторов в и с.
Обозначается а*в*с или (а, в,с).
Свойства смешанного произведения
1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. (а х b )•с=(b х с)•а=(с ха)•b .
Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер
2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков вкторного и скалярного умножения, т. е. (ахb)•с=а*(bx с).
Действительно, (ахb )•с=±V и а•(b хс)=(b хс)•а=±V . Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов а , b , с и b , с , а — одной ориентации.
Следовательно, (a хb )•с=a (b хс). Это позволяет записывать смешанное произведение векторов (а х b )с в виде abc без знаков векторного, скалярного умножения.
3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых вух векторов-сомножителей, т. е. abc =-acb , abc=-bac , abc =-cba .
Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.
4.Смешанное произведение ненулевых векторов а, b и сравно нулю огда и только тогда, когда они компланарны.
Если abc =0 , то а, b и с— компланарны.
Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллелепипед с объемом V¹ 0. Но так как abc =±V , то получили бы, что abc¹0 . Это противоречит условию: abc =0.
Обратно, пусть векторы а, b , с — компланарны. Тогда векторd =ахb будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а, b ,с, и следовательно, d ^с. Поэтому d •с=0, т. е.abc =0.
23. Уравнение прямой на плоскости (условие параллельности, перпендикулярности, угол между прямыми).
общее уравнение прямой на плоскости:Ах+Ву+С=0,где С=-Ах₀-Bу₀
В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат
• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу
• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох
Условие параллельности:
Если прямые заданы уравнениями x cosα+y sinα-ρ=0(нормальное ур-ие прямой) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:
k1 = k2.
Условие перпендикулярности:
В случае, когда прямые заданы уравнениями x cosα+y sinα-ρ=0 с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.
Угол между прямыми
Углом между прямыми A и B называется угол, на который надо повернуть первую прямую A вокруг точки пересечения этих прямых против движения часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой B. Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом.
y=kx+m