14. Элементы диф и варьиров в теор мехе.

Есть функ связи - с помощью операц варьиров и диференц мы мож получит огранич не только на коор нои на М.т.Вычислполндиффункц связей: =0Выч вариацию функц связей:

, Связиназ идеальными, если выполн соотнош: ,

-вариация не независима, их будет столько сколько степ свободы:число степ свободы S=3N-P,P-колич св.

15. Метод неопределённых мно-лей Лагнранжа.

Использ для определен реакци связи мех.сист.Вычислив вариац связи, получ

Умножим вариацию на мно-ль получим: P-кол-во связей.

Построим функцию Лагранжа:

Т.к , выб его таким, чтобы удовлетвор ур-ю и равен-ва 0. Тогда .

16.Ур-е Лагранжа 1-го рода. Рассм. мех.сис-му, состоящ. из N материальн.точек. На эту мех.сис-му наложено р-связей идеальных. Число степеней свободы r = 3N-p.

=1,2…p.

Вычислим вариацию функц ур-:

Умножим кажд.ур-е на множитель и сложим эти ур-я,тогда получ.:

Bз нашего утверждения следует, что

Если на М.т действуют активные и пассивные силы, то ур-е движ выглядит след образ:

Это и есть ур-е Лагранжа 1-го рода.-диффур-ниядвижмехан. сис, к-рыезапис в проекциях на декарт оси и содержат. множ Лагранжа.

17. Общее ур-е механики.

Расссист из nМ.тзапишз-н Ньютон :

Допуст связи - идеальны, тогда раб на виртперемещ =0

умножобе части скалярн на

–это и есть общ ур-е мех. Оно показ, что в люб мом врем сум элемент работ ативн сил и сил инерц =0, если связи не идеальны, то общ ур мех выгл след образ:

18. Реш зад о движ по наклпл-ти в поле сил тяж на основ ур-и Лагранжа 1-го рода.

h,

Ур-ясвязи: .

=>

=>

Решсист и получ:

Решим ур-е :

19.Реш задач о движ двух тел связнер нитью перек через блок на основ общ ур-я механ.

Это машина Атвуда. Длина нити= , трением в блоке пренебр, нить нерастяж. Ур-е связи x1+x2+

–общур динам.

Из ур-я связи:

Получаем:

20. Анализ прим о движ тел, брош под углом в поле сил тяж, мет вариацфункцидейцствия.

Ф-я действ имеет вид , где L-ф-я Лагранжа

=>

огрперв порядком малости по :

=

=

тогда учтём ГУ ( ) =>

Внесём z0 под производ и вынесем, получим:

= 0 –общ ур-е мех.

Принцип мин действия- вариация ф-ции действия => истинный путь будет минимальным.

21.Вариационпринцип.Ур-е Лагранжа-Эйлера.

Принц наименьшдействия - истинным среди рассматр возможных движсистявл то, для которфизвелич, наз действием, имеет мин знач. = =учтём ГУ( ) иприменим фор Ньютон-Лейбниц к под интегравыраж:

интегр =0 если под интегрвыр =0

Поскольку пределы выбпроизв образ:

– ур-е Лагранжа – Эйлера(ур-е Лагранжа 2-го рода)

22. На основ ур-я Л-Э получур-е колеб ММ и М.т под действ упр силы.

Есть ММ у него обобщён корд

Ф-я связи

Далее М.т – есть пруж маятник

Обобщкоорд- ,

=>

23. Ур-е Л-Э для систс многим степ свободы.

+

= учтём ГУ ( )=

применим фор Ньютон-Лейбниц к под интегравыраж:

интегр =0 если под интегрвыр =0

Поскольку пределы выбпроизв образ:

– ур-е Лагранжа – Эйлера(ур-е Лагранжа 2-го рода)

24.Обобщкоорд, скор и импульса. Циклкоорд.ЗС обощимп.Обобщкоорд-совок независ параметр, с помощ которыхописполож тела относ выбр СО в люб момент времени.Числообощкоордопределчислом степ свободы тела.Обобщсокрости-произв по времени от обощкоорд.

Обобщимп- произвлагранжеана по обощсокрости.

Цикл координаты – обобщкоорд мех.сист не вход явно в характерист ф-ииЛагранжа.Наличцикл коордупрощ процесс интегриров системы т.едля цикл коорд

ЗС обощимп: дадим всем радиус вектор одноприращ, котор не буд влиять на ур-е движ: С-const

Ф-я Лагранжа измен, если скор пост т.кприращ не влияет на ур-е движ, то вариацф-и Лагр =0=> => первые слаг =0 тогда

– обобщ импулс сист пост велич.

25.Опис движМ.т в потенц сфер-симетр поле в поля корд в форм Лагр.

Обощкоорд- ф-я связи ,

=>

1-е слаг сила инерц, 2-е радиаль сила.

26. Ф-яГамельтона.Привести примеры наеёопредел.

Выч полнаяпроизв от ф-и Лагр по врем:

Перейд к обобщимпcпомур-я Л-Э:

, если нет зав от врем то

Ф-яГамельтона:

– физ смысл –полн энергия системы.

Примеры вычисл: 1)

2) , выраз

27.Реш задач Кеплера в формализме Лагранжа.

Задачакеплера свод к реш задач движМ.т в центр поле, запишфункЛагр для М.т в цент поле:

,

,

=>

1-е слаг сила инерц, 2-е радиаль сила.

Запишпол энерг как сумкин и пот, замен на M

И

Находимtзатем

28. Законы Кеплера.

1)траектория планет явлэлипс, солнце нах в -1м из их фокусов

2) секториальная скорость постоянна, радиус вектор планет за равные промеж врем опис равныеплощади:

-constдок-во:

3) T-периоды, а-большие полуоси.

29.Осн элем опис линей многомерколеб в форм Лагр.

Многомерсист – сист с S-степ свободы, для получ данных колебсистиспольмногомер вектор и матрицы.

Матр -симметр и вход в кин и потенцэнерг соотв.

S=2 => тогда:

Реш: после подствполуч: ( - )

Ур-е имеет реш, если храктерстур-е:

Это ур-е на собств частоты колеб системы.

30. Ур-е колеб линей многомерсиств форм Лагр в линприближ.

Лин приближ - это раз в ряд Макларенасин и кос: т.к ф-я Лагропредел сточ до конст,то их не учит при подст. Тогда ф-я Лаг выгл: коэф - коэф матриц соотв.

в силу учёта порядков малости получим:

=>ур-е колеб:

Ур-еколебмногомерсист в линприближ.

31. Опредсобств частот многомерколебсист в форм Лагр в линприближ.

ур-е колеб: его реш

где

Состхар-е ур-е: – решим его относ лямбда.Получили систлиноднородн уравнен

Каждсобств частоте соотвчастн решение:

32. Реш у р-й многомерколебсист в ф в линприближ.

Перейдя к действ.части получ:

- нах 1- B

,

,

Находим =

Находим записполучдействи часть как обще реш, строим граф и анализ. Колеб могут происход в фазе либо противофазе.

33.Нормальные колебания.

Нормальные колебания – это малые колеботдельн мод.

,

Если переписать ф-ю Лагранжа в норм коорд:

,

Получимур-е колеб отдельных мод(норм колеб)

34. Постр ф-ю Лагранж дял 2-го ММ в линприближ.

, Обощкоорд

Тогда

Распишсин и кос, конст, выше 2-го пор малости отбросим все компоненты.

35. Опредсобств частоты двойного ММ.

Допустим длинынитей и массы одинак.

36. Решур-е колебдвойного ММ.

Перейдя к действ.части получ:

- нах 1-еB

,

,

Находим =

37. Вариац принц в формалГамельтона.Ур-едвиж мех сист в канон форме.

=>

ГУ( )

Учтём ГУ и вычс интегралы отдельно,т.к пределыинтегрирвыбрпроизв образом, то интеграл =0, если его под интеграл выр-е = 0,т.кобобщёимп и обощкоорднезависдр от друга, то когда каждслаг при вариации =0

Получаем и

38.ОписдвижМ.т в потенц сфер-симметр поле в форм Гамельтона.

Обобщкоорд- ф-я связи ,

–из форм Лагрвыримп

, подстав

39. Скобки Пуассона.Опредл скобок для комп имп.

Скоб Пуа-это оператор-коммутатор.

L=[rp] r=rx+ry+rz

подставить вверх опред,раскропред

и покомпонентно представлять кажд про-е

Примиер:

40. Св-ва скобок Пуассона.

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Допсв-ва

1)

2)

41. З-н сохранфизвелич в формализме Гамельтона.

Взяли про-ю ф-иипо врем и приравк ней же прибавил скобку пуасоона. Получ:

Если явной зависимости нет от врем, то ЗСЭ выполняется.