Линейные однородные уравнения с постоянным коэффициентом.

Метод решения линейного уравнения (однородного) с постоянным коэффициентом был предложен Эйлером

В соответствие с ним решение уравнения ищется в виде .

Подставляя в уравнение и деля его обе части на , получаем алгебраическое уравнение для определения показателя k

которое называется характеристическим уравнением для данного дифференциального.

Хар-ое уравнение получается из данного дифференциального формальной заменой в нем

Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к решению алгебраического уравнения =>

Хар-ое уравнение является объемным квадратным уравнением, корни которого находятся по формулам:

В зависимости от знака дискриминанта (3 случая).

Корни k1;k2	Фунд-ая система y1;y2	Общее решение Y=C1y1+C2y2
D>0 k1≠k2	y1=ek1x y2=ek2x	Y=C1ek1x+C2ek2x
D=0 k1=k2=k	y1=ekx y2=xekx	Y=ekx(C1+C2x)
3)D<0 k1,2=α±βi	y1=eaxcosβx y2=eaxsinβx	Y=eax(C1cosβx+C2sinβx)

Линейные неоднородные уравнения с постоянным коэффициентом.

Рассмотрим уравнение вида где a,b,c – постоянные числа, а f(x) некоторая непрерывная , или кусочно-непрерывная функция.

Уравнение с теми же коэффициентами, но с правой частью равной нулю, называется однородным уравнением, соответствующим данному неоднородному.

Теорема о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения.

Если Y* - какое либо частное решение данного неоднородного уравнения, а - общее решение, соответствующего однородного уравнения, то общее решение Y неоднородного уравнения есть сумма

Метод вариации произвольных постоянных.

Настоящий метод, может быть использован для отыскания общего решения неоднородного уравнения для любой правой части уравнения. Сущность этого метода заключается:

Требуется найти общее решение неоднородного уравнения

1. , по корням хар-кого уравнения составим его фунд-ую систему решений y₁(x);y₂(x), записываем общее решение однородного уравнения

2. Решение исходного неоднородного уравнения будем искать в таком же виде, но при этом С₁,С₂ считать функциями от х, т.е.

С₁=С₁(x); C₂=C₂(x), тогда решение уравнения примет вид Y=C₁(x)y₁+C₂(x)y₂. Для произв-х пока неизвестных функций C₁(x), C₂(x) имеем систему

Функции С1(x),C2(x) находим послед-им интегрир-ием.

Случай правой части специального вида.

Теорема: Если правая часть уравнения представляет собой сумму двух функций «специального вида» , то его частные решение может быть найдено как сумма частных решений где есть частные решения уравнений

(Таблица)

Системы линейных уравнений. Методы решения.

Решить систему – найти функции.

t- независимая переменная, неизвестные функции x(t),y(t),z(t).

Нормальная система линейных уравнений – система, разрешенная относительно производных искомых функций. Каждое уравнение системы – линейное.

Нормальная система линейных дифференциальных уравнений для трех функций имеет вид <1>. Если f₁(x)=f₂(x)=f₃(x)=0, то имеем однородную систему <2> .

<1> <2>

Коэффициенты системы будем считать постоянными числами a₁,b₁…C₃.

Введем в рассмотрение матрицы:

Матрица – столбцу неизвестных функций X(t),

Матрица – столбцу их производных ,

Матрица – столбцу функций F(t), матрица коэффициентов системы А.

Нормальная линейная система дифференциальных уравнений в матричной форме:

и

Для системы 2-ого порядка:

1. Для решения системы X₁(t),X₂(t) образуют фундаментальную систему решений однородной системы , если они линейно независимы, т.е.

2. Если X₁(t), X₂(t) образуют фундаментальную систему решений однородной системы , то её общее решение имеет вид X(t)=C₁x₁(t)+C₂x₂(t).

3. Если - есть какое либо частное решение неоднородной системы а - общее решение соответствующей однородной системы , то общее решение неоднородной системы запишется X(t)= +X^*(t)

4. Решить задачу Коши для нормальной системы означает, что из общего решения системы (множество всех ее решений) необходимо выделить одно, удовлетворяющее начальным условиям x(0)=x₀, y(0)=y₀