Ряды Тейлора и Макларена.

Понятие о ряде Тейлора:

Всякая функция при соблюдении определенных условия в интервале содержит точку M0; может быть представлена в нем в виде степенного ряда и этот ряд будет её рядом Тейлора.

Определение: Рядом Тейлора ф-им F(x) называется степенной ряд вида

Ряд Макларена F(x) называется ряд вида

Ряды Тейлора и Маклорена есть разложение функции в ряд по степеням (х-х₀) и х соответственно им представленные функции в окрестностях точек х₀ или х степенным рядом.

Коэффициенты рядов Тейлора и Маклорена выполняются через значения производных функций всех порядков в точках х=х₀ и х=0 соответственно. Но существование производных любого порядка не является достаточным условием разложения функции в ряд Тейлора.

Достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора: Всякая функция F(x) бесконечно дифференцирования в интервале |x-x₀| <f может быть в этом интервале в сходящийся к ней степен. ряд называется рядом Тейлора, если в этом интервале остаток ряда R_n(x) стремится к 0.

(*)

остаток ряда Тейлора можно записать форме Лагранжа

где С – некоторая произвольная точка рассматриваемого интервала. Условие (*) выполняется, если произвольные всех порядков фун-им ограничены некоторым числом. |F⁽ⁿ⁾(x₀)|≤M

Если записать ряд Тейлора вместе с остаточным числом, то получим так называемую формулу Тейлора:

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Рассмотрим числовой ряд в котором знаки членов ряда чередуются

Достаточным признаком сходимости таких рядов является признак Лейбница.

Признак Лейбница.

Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютная величина его членов монотонно убывает, а предел общего члена равен нулю, т.е.

, и

При том:

1.Сумма ряда меньше его первого члена по абсолютной велечине и имеет одинаковы с ним знак |S|<|U₁|

2.Остаток ряда есть такой же сходящийся ряд, сумма которого по абсолютной величине меньше первого из отброшенных членов и имеет его знак |R_n|<|U_n+1|