6. Точечное оценивание старших моментов: выборочные моменты и их свойства несмещенности и состоятельности.

При построении оценок начальных и центральных моментов и ( ):

,

,

используются статистики аналогичные введенным ранее статистикам (2.2) и (2.3):

,	(2.5)
,	(2.6)
.

Определение 2.5.

Статистика называется выборочным моментом -го порядка.

Определение 2.6.

Статистика называется выборочным центральным моментом -го порядка.

Легко видеть, что статистики являются несмещенными оценками , действительно:

.

Кроме того, если существует момент , то дисперсия статистики :

,

поскольку при в силу независимости и ,

.

Таким образом,

.

Поскольку существует, то существует и , и с ростом , очевидно, дисперсия стремиться к нулю. Тогда в силу утверждения 2.1 (ранее было показано, что оценка является несмещенной) оценка является состоятельной.

Кроме того, можно показать ([1], параграф 1.3), что статистики являются асимптотически нормальными .

Исследование свойства несмещенности оценок сопряжено с определенными трудностями, тем не менее, достаточно легко убедиться в состоятельности оценок . Заметим, что статистики выражаются через статистики , где :

.

Таким образом, статистики являются непрерывными функциями от состоятельных оценок , которые сходятся по вероятности к значениям , отсюда в силу свойства сходимости по вероятности статистика сходится по вероятности к :

, при .

Заметим, что справа от предела стоит в точности :

Таким образом, статистика сходится по вероятности к :

, при ,

отсюда статистика является состоятельной (по определению).

7. Постановка задачи построения точечной линейной оценки среднего при разноточных измерениях, метод построения линейной оценки с минимальной дисперсией и свойства коэффициентов.

Известно, что случайные величины ( ) имеют вид:

,

где неизвестное числовое значение, попарно независимые случайные величины с математическим ожиданием и дисперсией , значения известны. Требуется построить оценку неизвестной величины , такую что

1) Оценка линейная:

,

2) Оценка является несмещенной оценкой :

3) Оценка имеет наименьшую дисперсию в классе линейных оценок:

.

Легко видеть, что , тогда:

.

Поскольку должна быть несмещенной оценкой, то нужно потребовать чтобы :

.

.

Вычислим дисперсию , учитывая, что в силу попарной независимости величин ковариация при :

.

Таким образом, приходим к задаче минимизации квадратичной формы по неизвестным при условии, что . Для решения задачи нахождения условного экстремума воспользуемся методом множителей Лагранжа, функция Лагранжа имеет вид:

.

Дифференцируя по и , получим систему:

.

Таким образом, искомая оценка имеет вид:

,

при этом дисперсия оценки :

.

Обозначим , тогда и отсюда становится понятно, что чем меньше , тем больше коэффициент , то есть чем более «точным» является измерение , тем с большим «весом» оно входит в сумму оценки . Например, если -ое измерение «точнее» -го в 3 раза, то есть , тогда , то есть «вес» измерения в сумме оценки в раз больше «веса» измерения .