4. Линейные ду 1-го порядка. Уравнение Бернулли.
Опр. Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде
у' + р(х)у = g(x), (1)
где р(х) и g(x) – заданные функции, в частности – постоянные.
Если
в ДУ (1) 
,
то это – линейное однородное ДУ.
Существует неск. способов интегрирования этого уравнения:
а)
метод подстановки: решение ищется в
виде 
,
где 
и 
– произвольные непрерывно дифференцируемые
функции на 
.
Вычислим
.
Подставляя 
в (1), получим:
(2)
Т.к.
и 
- произвольные, то выберем
таким образом, чтобы 
.
Итак, 
,
т.е. 
.
Интегрируя, получаем:
Ввиду
свободы выбора функции 
,
можно принять 
.
Отсюда:
Подставляя найденную функцию в уравнение (2), получаем:
(3)
; 
Общее
решение: 
б)
ищется решение однородного ДУ 
,
которое имеет вид 
,
где С
– произвольная постоянная.
Для
построения общего
решения
уравнения (1) подставляем (3) в (1) при 
:
Уравнение Бернулли
, 
Если
,
то уравнение Бернулли – линейное, а
при 
– с разделяющимися переменными.
В
общем случае, разделив уравнение
Бернулли
на 
,
получим:
(4)
Обозначим
.
Тогда 
.
Отсюда находим 
.
Уравнение (4) принимает вид
Последнее
уравнение является линейным относительно
.
Решение его известно. Таким образом,
подстановка 
сводит уравнение Бернулли к линейному.
5. Уравнение в полных дифференциалах. Решение уравнения 1-го порядка с помощью интегрирующего множителя.
Опр.
ДУ 
(1)
называется
уравнением в полных дифференциалах,
если его левая часть представляет собой
полный дифференциал некоторой функции
.
(2)
- общий интеграл уравнения (1)
Теорема
1. Необходимым
и достаточным условием того, что ДУ (1)
является уравнением в полных
дифференциалах, является выражение
(3).
Из
условия (2) следует, что 
.
Если
условие (3) не выполняется, то ДУ (1) не
является уравнением в полных
дифференциалах. Однако это уравнение
иногда можно привести к таковому
умножением его на некоторую функцию
,
называемую интегрирующим
множителем.
Чтобы
уравнение 
было уравнением в полных дифференциалах,
должно выполняться условие
Выполнив дифференцирование и приведя подобные слагаемые, получим:
(4)
Для
нахождения t(x;у)
надо проинтегрировать полученное ДУ
в частных производных. Нахождение
интегрирующего множителя может быть
упрощено, если допустить существование
t
как функции только одного аргумента
либо только 
.
Пусть, например, 
.
Тогда уравнение (4) принимает вид:
,
или
Отсюда
.
При этом выражение 
должно зависеть только от
.
Аналогично
получаем, что если 
(
не зависит от
),
то 
,
а подынтегральное выражение должно
зависеть только от
.
6. Поле направлений, изоклина и их применение к построению интегральных кривых ду.
Опр. Полем направлений ур-я dy/dx = f(x,y), правая часть кот. определена в области D, назыв. мн-во точек (х, у) ϵD и проведенных через них отрезков с угл. коэффициентом k = f(x,y).
Для построения интегральных кривых применяют изоклины.
Изоклиной назыв. геом место точек пл-ти ХоY, в кот. касательные к искомым интегральным кривым имеют одно и то же направление y’=const.
Т.о., семейство изоклин диф.ур-я y’=f(x,y) опред. р-вом f(x,y)=tgα=k, где k – параметр, α – угол наклона поля напр-ий к оси ОХ.
Замечание. Нулевая изоклина f(x,y)=0 определяет геом. место возможных точек экстремума интегральных кривых.