16. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.

О. ФР u₁(x) + u₂(x) +…+ u_n(x) +…= (1) называется равномерно сх-ся в обл. D, если для любого , не зависящий от х D, такой что выполняется для любого n>N и для любого х D.

Т1.(Критерий Коши) Для того чтобы ФР (1) был равномерно сх-ся в обл. D необходимо, чтобы для такой, что при и любом р>0 выполнялось неравенство при любом х D.

Т2.(Признак Вейерштрасса) Если члены ряда (1) удв. неравенству , где n=1,2 …

для любого х D, где , а ряд сх-ся, то ФР(1) сх-ся равномерно и абсолютно для любого х D.

О. ФР(1) называется мажорируемым ФР, если каждый его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена некоторого сх-ся числового ряда.( , ).

Т3. Сумма ряда непрерывных функций (1), равномерно сх-ся на [а,в], является ф-цией непрерывной на данном отрезке.

Т4. Пусть ряд непрерывных функций (1) равномерно сх-ся на [а,в], и пусть S(x) сумма данного ряда, тогда , [х₀,х] [а,в]

Т5. Пусть ряд (1) непрерывных дифференцируемых функций u_n(x) сх-ся S(x) на [а,в], а ряд

равномерно сх-ся на [а,в], тогда исходный ряд равномерно сх-ся на [а,в], его сумма S(x) является непрерывно дифференцируемой функцией и справедлива формула

S’(x) = =

17. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

18. Свойства степенных рядов.

1) Сумма степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости.

2)Степенные ряды   и   имеют один и тот же радиус сходимости.

3)Степенные ряды можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз и для S(x).

4)Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому промежутку, принадлежащему интервалу сходимости.

19. Ряды Тейлора и Маклорена. Приложения.

Пусть функция в интервале является суммой степенного ряда (30.1):

 (30.5)

Найдем коэффициенты этого ряда. Продифференцируем последовательно тождество (30.5) и подставим в него

Отсюда находим коэффициенты:

Подставляя их в (30.5), имеем

 (30.6)

Полученный ряд называется рядом Тейлора для функции а в частном случае при = 0 — рядом Маклорена:

 (30.7)

Таким образом, если функция разлагается по степеням  то этот ряд называется рядом Тейлора и  бесконечно дифференцируема в т.

20. Тригонометрический ряд Фурье. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций.

Если f(x) разлагается на отрезке   в равномерно сходящийся тригонометрический ряд:

 (1),

то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:

, где n=1,2, ...

Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье, а  коэффициентами ряда Фурье.

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Пусть f(x) - четная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = f(x) .

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

=

=

= 0 , где n=1,2, ...

Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2Lвыглядит так:

Пусть теперь f(x) - нечетная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = - f(x).

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

, где n=1,2, ...

Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:

Если функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке  то 

, где  ,

,

,

Если f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L], то доопределив заданную функцию f(x) соответствующим образом на [-L,0]; далее периодически продолжив на (T=2L), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.

Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a,b], надо : доопределить на [b,a+2L] и периодически продолжить, либо доопределить на [b-2L,a] и периодически продолжить.