8. *Матрицы элементарных преобразований

Элементарными преобразованиями строк матрицы называют следующие три операции:

1⁰. Перестановка двух строк в матрице, например i-й и k-й строк:

,

которую мы будем записывать в виде .

2⁰. Умножение i-й строки матрицы на число 0:

,

которое мы будем записывать в виде .

3⁰. Добавление к i-й строке матрицы её k-й строки с коэффициентом :

,

что будем записывать в виде .

Аналогичные операции над столбцами матрицы называют элементарными преобразованиями столбов матрицы.

Каждое элементарное преобразование строк или столбцов матрицы имеет обратное элементарное преобразование, которое преобразованную матрицу превращает в исходную. Например, обратным преобразованием для перестановки двух строк является перестановка тех же строк.

Каждое элементарное преобразование строк (столбцов) матрицы A можно трактовать как умножение A слева (справа) на матрицу специального вида. Эта матрица получается, если то же преобразование выполнить над единичной матрицей. Рассмотрим подробнее матрицы элементарных преобразований (или элементарные матрицы).

а) Матрицей элементарных преобразований 1-го типа называется любая матрица, полученная из единичной матрицы перестановкой каких-либо двух строк или столбцов. Например, перестановке i-й и j-й строк соответствует умножение слева на матрицу

.

б) Матрицей элементарных преобразований 2-го типа называется любая матрица, полученная из единичной матрицы заменой диагонального элемента на любое число 0. Например, умножению i-й строки на число  соответствует умножение слева на диагональную матрицу

.

в) Матрицей элементарных преобразований 3-го типа называется любая матрица, отличающаяся от единичной матрицы наличием одного внедиагонального элемента. Например, прибавление к i-й строке j-й строки, умноженной на число , равносильно умножению слева на матрицу

.

С помощью алгоритмов, которые основаны на элементарных преобразованиях строк и столбцов, матрицы можно преобразовывать к различному виду. Например, для матриц справедлива следующая теорема, которую мы докажем позже.

Теорема 1.1. Любая невырожденная матрица A путём умножения на матрицы элементарных преобразований E₁, E₂, …, E_k может быть сведена к единичной, т.е. найдутся такие элементарные матрицы E₁, E₂, …, E_k, последовательное умножение которых на матрицу A слева преобразует исходную матрицу A в единичную:

.

9. * Использование матриц в экономике

Матрицы широко используются во всех областях науки, в том числе экономической. Многие обозначения при использовании матриц очень компактны, при этом без потери в наглядности и содержательности. Особенно широко матрицы применяются при разработке и использовании баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.

Пример 1.4. Предприятие выпускает продукцию четырёх видов: P₁, P₂, P₃ и P₄ и использует сырьё четырех видов: S₁, S₂, S₃ и S₄. План выпуска продукции, нормы расхода сырья, количество единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, величина себестоимости каждого вида сырья и а также затраты на доставку единицы сырья, приведены в таблице 1.1.

Вид сырья	Себестоимость единицы сырья (ден. ед.)	Стоимость доставки единицы сырья (ден. ед.)	Количество единиц сырья, идущих на изготовление единицы продукции (усл. ед.)
			P1	P2
S1	4	2	2	1
S2	6	1	3	2
S3	5	3	4	5
План выпуска продукции (усл. ед.)			60	50

Определить затраты сырья каждого вида, необходимые для планового выпуска продукции, а также общие затраты на сырьё и его перевозку.

Решение. Таблица распределения норм распределения сырья по видам изделий может быть записана в виде матрицы:

.

План выпуска продукции запишем в виде матрицы-строки

.

Обозначим через x₁ и x₂ – количество единиц продукции соответственно P₁ и P₂, запланированных к производству. В соответствии с таблицей, для их изготовления потребуется (2x₁+x₂) единиц сырья S₁, (3x₁+2x₂) единиц сырья S₂ и (4x₁+5x₂) единиц сырья S₃. При заданном плане (x₁=60, x₂=50) затраты сырья будут равны 160 (для S₁), 520 (для S₂), 490 (для S₃).

Эти расчёты можно представить в матричном виде. Затраты сырья каждого вида на производство каждого вида продукции, в соответствии с заданным планом, будут равны произведению матрицы A на матрицу Q:

.

Здесь число 160 означает общее количество (в усл. ед.) сырья S₁, которое будет использовано на изготовление продукции P₁ и P₂ в объёмах, предусмотренных планом, 520 – сырья S₂, 490 – сырья S₃.

Составим матрицу себестоимости сырья и стоимости его доставки:

.

Здесь C₁ – столбец, содержащий значения себестоимостей единицы сырья S₁, S₂ и S₃, соответственно; C₂ – столбец, содержащий стоимости доставки единицы сырья S₁, S₂ и S₃, соответственно.

Затраты на всё сырье для каждого вида продукции, связанные с себестоимостью сырья и его перевозкой, будут равны произведению транспонированной матрицы C на матрицу A:

.

Здесь первая строчка означает, что при производстве единицы продукции P₁ затраты, связанные с себестоимостью всех трёх используемых видов сырья, будут равны 64, а затраты, связанные с перевозкой всех трёх используемых видов сырья, будут равны 19. Аналогичный смысл имеет вторая строчка.

Суммарные затраты на сырье и его доставку (в денежных единицах) при заданном плане определяются произведением транспонированной матрицы Q на матрицу :

.

Полученная матрица-строка означает, что при реализации данного плана, 5450 ден. ед. будут связаны с затратами на все виды сырья, связанные с их себестоимостью, 2190 ден. ед. – с затратами на транспортировку всех используемых видов сырья. 

Пример 1.5. В таблице 1.2. приведены данные о дневной производительности пяти предприятий, выпускающих четыре вида продукции с потреблением трех видов сырья, а также продолжительность работы каждого предприятия в году и цена каждого вида сырья.

Таблица 1.2

Вид изделия	Производительность предприятий, изд./день						Затраты сырья, ед. веса/изд.
	1	2	3	4	5	1		2	3
1	4	5	3	6	7	2		3	4
2	0	2	4	3	0	3		5	6
3	8	15	0	4	6	4		4	5
4	3	10	7	5	4	5		8	6
	Количество дней в году					Цена сырья
	200	150	170	120	140	40		50	60

Требуется определить: а) годовую производительность каждого предприятия по каждому виду изделий; б) годовую потребность каждого предприятия по каждому виду сырья; в) годовую сумму кредитования каждого предприятия для закупки сырья, необходимого для выпуска изделий указанных видов и при определенном количестве рабочих дней.

Решение. Сначала нужно составить матрицы, характеризующие весь интересующий нас экономический спектр производства, а затем при помощи соответствующих операций над ними получить решение данной задачи. Прежде всего приведем матрицу производительности предприятий по всем видам продукции:

Каждый столбец этой матрицы соответствует дневной производительности отдельного предприятия по каждому виду продукции. Следовательно, годовая производительность j-го предприятия по каждому виду продукции получается умножением j-го столбца матрицы A на количество рабочих дней в году для этого предприятия. Таким образом, годовая производительность каждого предприятия по каждому изделий описывается матрицей

.

Матрица затрат сырья на единицу изделия (эти показатели по условию одинаковы для всех предприятий) имеет вид

Дневной расход по видам сырья на предприятиях описывается произведение матрицы B на матрицу A:

,

где i-я строка соответствует номеру вида сырья, а j-й столбец – номеру предприятия согласно таблице 1.2. Нас интересует ответ на второй вопрос задачи – он получается, по аналогии с матрицей A_год, умножением столбцов матрицы BA на соответствующее количество рабочих дней в году для каждого предприятия. Таким образом, годовая потребность каждого предприятия в каждом виде сырья равна

.

Введем матрицу-строку стоимости сырья

.

Тогда стоимость общего годового запаса сырья для каждого предприятия получается умножением матрицы P на матрицу BA_год:

.

Следовательно, суммы кредитования предприятий для закупки сырья определяются соответствующими элементами матрицы PBA_год. 

Пример 1.6. Завод производит двигатели, которые могут либо сразу потребовать дополнительной регулировки (в 40% случаев), либо сразу могут быть использованы (60%). Как показывают статистические исследования, те двигатели, которые изначально требовали регулировки, потребуют дополнительной регулировки через месяц в 65% случаев, а в 35% случаев будут работать хорошо. Те двигатели, которые не требовали первоначальной регулировки, потребуют её через месяц в 20% случаев и продолжат работать в 80% случаев.

Какова доля двигателей, которые будут работать хорошо или потребуют регулировки через 2 месяц после выпуска? Через 3 месяца?

Решение. Рассмотрим вектор-строку состояния , где – доля хороших двигателей в момент времени t, – доля двигателей, требующих регулировки в момент времени t. Введём матрицу перехода

,

где – доля двигателей, которые в настоящее время находятся в состоянии i (1 – «хороший», 2 – «требует регулировки»), а через месяц – в состоянии j. Отметим, что для матрицы перехода сумма элементов каждой строки равна 1, а все её элементы не отрицательны. (Отметим, такие матрицы называются стохастическими). Таким образом, мы имеем следующие исходные данные:

, .

Через месяц вектор состояний будет иметь следующий вид

,

т.е. через месяц доля хороших двигателей составит 62%, а доля двигателей, требующих регулировки, составит 38%. Через два месяца вектор состояний будет иметь следующий вид

;

через три месяца –

.

Очевидно, что

. 

Замечание. Отметим, что приведенная задача является задачей из теории цепей Маркова.