Дополнение к главе 1. Символ
В
математике часто приходится рассматривать
суммы большого числа слагаемых, причём
все слагаемые имеют один и тот же вид и
различаются только индексами. Символ
,
после которого стоит некоторое выражение,
содержащее индекс i
обозначает сумму таких выражений для
всех значений индекса i
от 1 до n,
например,
,
.
Индекс i называется индексом суммирования. Разумеется, в качестве индекса суммирования может быть употреблена и любая другая буква, т.е.
.
Имеют место следующие правила обращения со знаком суммы , которые легко проверить.
1) Множитель, не зависящий от индекса суммирования, может быть вынесен за знак суммы:
.
2)
.
3) Два знака суммы могут быть переставлены, т.е.:
.
Двойную
сумму
обозначают через
,
если оба индекса пробегают одинаковые
значения 1, …, n.
Иногда
будет требоваться записать сумму всех
слагаемых, кроме одного или двух. Если
пропущено слагаемое с номером j,
мы будем записывать эту сумму так:
.
Аналогично, если пропущены слагаемые
с номерами i
и j,
будем писать
.
Вопросы для самопроверки
1. Что такое матрица? Как обозначаются матрицы? Как обозначаются элементы матриц? Какие матрицы называются равными?
2. Какие матрицы называются нулевыми? Сколько существует нулевых матриц?
3. Какие операции называются линейными? Как складываются матрицы? Как матрица умножается на число?
4. Как можно умножить матрицу на матрицу?
5. Как изменится произведение AB матриц A и B, если:
а) переставить i-ю и j-ю строки матрицы A;
б) к i-й строке матрицы A прибавить j-ю строку, умноженную на число k;
в) переставить i-й и j-й столбцы матрицы B;
г) к i-му столбцу матрицы B прибавить j-й столбец, умноженный на число k?
5. Перечислите основные свойства операции умножения матриц.
6. Какие матрицы называются перестановочными?
7. Доказать, что если для матриц A и B оба произведения AB и BA определены, причём AB=BA, то матрицы A и B – квадратные и имеют одинаковый порядок.
8. Показать, что если матрицы A и B – квадратные матрицы одного и того же порядка, причём ABBA, то
а)
;
б)
.
9.
Матрица [A,B]=AB–BA
называется коммутатором
матриц A
и B.
Докажите, что справедливы тождества:
а)
,
б)
,
в)
,
г)
.
10.
Матрица
называется произведением
Йордана
матриц A
и B.
Докажите, что справедливы тождества:
а)
,
б)
,
в)
,
г)
.
11. Какие матрицы называются транспонированными?
12. Какие матрицы называются симметрическими? Пусть матрицы A и B симметрические. Докажите, что: а) A+B – симметрическая матрица, б) An – симметрическая матрица при любом натуральном n, в) матрица AB является симметрической тогда и только тогда, когда матрицы A и B перестановочны?
13. Какие матрицы называются кососимметрическими? Пусть матрицы A и B кососимметрические. Докажите, что: а) A+B – кососимметрическая матрица, б) An – кососимметрическая матрица при нечетном n и симметрическая матрица при четном n. в) Сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие кососимметричности произведения матриц A и B.
14.
Пусть A
– произвольная квадратная матрица.
Доказать, что матрицы
и
симметрические,
а матрица
кососимметрическая.
15. Доказать, что любую квадратную матрицу можно разложить в сумму симметрической и кососимметрической матриц. Единственно ли это разложение?
16. Какие матрицы можно возводить в степень?
17. Какие матрицы называются идемпотентными, а какие – инволютивными? Показать, что если матрица P идемпотентна, то I=2P–E инволютивна, и, наоборот, если I инволютивна, то идемпотентна.
18. Какие матрицы называются нильпотентными? Что такое показатель нильпотентности? Докажите, что если матрицы A и B нильпотентны и перестановочны, то A+B и AB нильпотентны.
19. Какие матрицы называются периодическими? Что такое показатель периодичности? Докажите, что если матрицы A и B периодические и перестановочны, то AB – периодическая матрица. Выразить какой-либо её период через периоды матриц A и B.
20. Как вводятся функции (многочлены) от матриц?
21. Что такое след матрицы? Докажите тождества: а) tr(A+B)=trA+trB, б) tr(AB)=trAtrB.