6. Теорема Штейнера. Работа силы при вращении. Кинетическая энергия при вращательном и плоском движении тела.

При параллельном переносе оси вращения на расстояние, а от центра инерции момент инерции тела массой m возрастает на mа², т. е. J = J_С + mа². В этом состоит суть теоремы Штейнера. Выведем эту теорему.

Дано твердое тело (система материальных точек).

Проведем две параллельные оси; одну через центр масс С тела и другую через точку О, отстоящую от центра масс на расстояние а. На рисунке оси перпендикулярны плоскости чертежа. Выделим в твердом теле некоторую элементарную массу Dm_i. Проведем в нее из точек С и О векторы R_i и r_i.                                       

Из чертежа видно, что r_i = а + R_i. Возведем это равенство в квадрат: r_i²  = а² + 2а×r_i + R_i². Умножим его на Dm_i и просуммируем по всем элементарным массам (точкам) тела: SDm_i×r_i² = а²SDm_i + 2аSDm_i×R_i  + SDm_i×R_i².

Первая сумма SDm_i×r_i²  в полученном равенстве представляет собой момент инерции J  тела относительно точки О, а последняя сумма SDm_i×R_i² представляет собой момент инерции J_С  тела относительно центра масс. Так как SDm_i равна массе m всего тела, то слагаемое  а²SDm_i = mа². И, наконец, вспоминая определение радиус-вектора центра масс:

R_С = (1/m)SDm_i×R_i, видим, что сумма SDm_i×R_i = m×R_С представляет собой произведение массы тела на радиус-векторR_С центра масс тела. Но так как здесь радиус-вектор R_С задается относительно самого центра масс, то он получается равным нулю. В итоге написанное выше равенство примет вид   J = mа² + J_С, который и представляет собой теорему Штейнера.

В тех ситуациях, когда размерами и формой движущегося тела нельзя пренебречь, его часто можно смоделироватьтвёрдым телом – совокупностью материальных точек с неизменными расстояниями между ними. При этом про­извольное движение такого тела обычно может быть разложено на такие бо­лее простые, независимые движе­ния, как поступательное и вращательное.

Под поступательным движением твёрдого тела понимают такое движение, при котором любая прямая, проведённая в теле, остаётся при его движении параллельной самой себе (Поступательным является, прежде всего, прямолинейное движение, а также и такие виды криволинейного движения, движение в кабине колеса обозрения ...). Существенно, что при поступательном движении все точки тела дви­жутся

эквивалентно, т. е. по идентичным траекториям с одинаковыми мгновенными скоростями и ускорениями.

Поэтому механика поступательного дви­жения твёрдого тела в целом не содержит в себе принципиальных отличий от механики точки и по существу сводится к ней. В качестве некоторой выделенной точки твердого тела выбирают его центр масс, который еще называют центром инерции.

Иначе обстоит дело с вращательным движением. Простейший его вид - вращение вокруг неподвижной оси. В нем все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат  на одной прямой, называемой осью вра­щения. Во вращательном движении разные точки тела (разно удалённые от оси вращения) за одно и тоже время Dt совершают разные линейные перемещения Dr и, соответственно, обла­дают разными линейными скоростями и ускорениями. Одинаковыми же для всех точек вращающегося вокруг оси тела будут не линейные, а угловые кинема­тические характеристики (скорости и пути, перемещения). Они и будут адекватными (и удобными) характеристиками вращательного движения тела в целом. Вращающееся вокруг неподвижной оси  тело имеет одну степень свободы. Линейное перемещение Dr (или dr) пропорционально расстоянию R до оси вращения. Угло­вое же перемещение Dj (или dj), равное линейному Dr, делённому на радиус R соответствующей окружности, то есть dj = dr/R,  не зависит от R.

Соответственно и быстрота w = dj/dt [рад/с = с^-1] углового перемещения (или изменения утла поворота j), называемаяугловой скоростью, и быстрота её изменения e = dw/dt [рад/с² = с^-2], называемая угловым ускорением, не зависят от радиуса окружности, то есть являются оди­наковыми для всех точек вращающегося тела.

Линейные и угловые характеристики точки, вращающейся по окружности радиуса R взаи­мосвязаны следующим образом:

w= dj/dt = (dr/R)/dt = u/R;  Þ  u = wR.

e = dw/dt = d/dt(u/R)  = (1/R)du/dt  = а_t/R  Þ   а_t = eR

а_n = u²/R = (wR)2/R  = w²R;  

а = Ö(а_t² + а_n²) = Ö(e²R² + w⁴R²) = [Ö(e² + w⁴)]/R .

Так как dr = Rdj = rsin q×dj, то в векторной форме dr = [dj, r].  Поделив полученное равенство на dt, получим: dr/dt = u= [dj/dt,  r] = [w, r]  Þ u = [w, r].

а = du/dt = d/dt[w, r] =  [dw/dt,  r] + [w, dr/dt] = [e, r] + [w, u] = а_t  + [w, [w, r]] = а_t  + а_n, где

 а_t  = [e, r]   и   а_n  = [w, [w, r]] = - w²R.

Направление векторов dj и w определяется правилом правого винта (буравчика), совпа­дая с его поступательным перемещением при вращении рукояти в направ­лении вращения тела.  Угловое же ускорение e = dw/dt совпадает, по направ­лению с элементарным приращением dw  угловой скорости: e­­dw . Оно, таким образом, направ­лено по направлению w при ускоренном  (dw/dt > 0) вращении и против направ­ления w при замедленном (dw/dt < 0) вращении.

Векторный характер w  и e позволяет характеризовать с их помощью не только быстроту вращения, но и ориентацию оси вращения в пространстве, и направление вращения.

Так же, как и для линейных, для угловых кинематических характеристик справедливы аналогичные уравнения для скорости и перемещения во враще­нии с постоянным ускорением:  w = w_о ± et   и    j = j_о + w_оt ± et²/2 , где знак ²плюс ² - для ускоренного вращения, а ²минус² -  для замедленного вращения.

Также как и в поступательном движении, для решения основной задачи механики вращательного движения (определе­ния угловой скорости и положения в любой момент времени) необходимо знать начальное состояние движения (характеристики j_о  и w_о), а также угловое ускорение e. Задача определения ускорения движущегося тела ре­шается в следующем за кинематикой разделе механики, называемом динамикой. В практических задачах на анализ вращательного движения часто исполь­зуют такие  характеристика, как число оборотов N, связанное с угловым путем j очевидным соотношением  N = j/2p,  и частота вращения n = dN/dt или для равномерного вращения n = N/t:

n = (dj/dt)/2p = w/2p   Þ  w = 2pn;  j = 2pN.

Время одного оборота Т = 1/n называется периодом вращения:w = 2p/Т или Т = 2p/w.