16. Барометрическая формула. Закон распределения частиц во внешнем потенциальном поле (распределение Больцмана).

тмосферное давление на какой-либо высоте h обусловлено весом слоёв газа, лежащих выше. Пусть P – давление на высоте h , а   – на высоте   (рис. 2.9).

  Рис. 2.9

       Причём, dh >0, а dР < 0, так как на большей высоте давление меньше. Разность давления   равна весу газа, заключённого в объёме цилиндра с площадью основания равного единице и высотой dh.

       Т.к.   где   - плотность газа на высоте h, медленно убывающая с высотой, то можно записать:

.

      Отсюда можно получить барометрическую формулу:

(2.4.1)

где P₀ – давление на высоте h = 0.

       Из формулы (2.4.1) следует, что P убывает с высотой тем быстрее, чем тяжелее газ (чем больше μ) и чем ниже температура (например, на больших высотах концентрация легких газов Не и Н₂ гораздо больше, чем у поверхности Земли).

       На рисунке 2.10 изображены две кривые, которые можно трактовать, либо как соответствующие разным μ (при одинаковой Т), либо как отвечающие разным Т, при одинаковых μ.

       Таким образом, чем тяжелее газ (больше μ) и чем ниже температура, тем быстрее убывает давление.

 

Это распределение по энергиям частиц (атомов, молекул) идеального газа в условиях термодинамического равновесия. Распределение Больцмана было открыто в 1868 - 1871 гг. австралийским  физиком Л. Больцманом. Согласно распределению, число частиц n_i с полной энергией E_i    равно:

n_i =A•ω_i •e^­E_i ^/Kt                               (1)

где ω_i  - статистический вес (число возможных состояний частицы с энергией e_i). Постоянная А находится из условия, что сумма n_i по всем возможным значениям i равна заданному полному числу частиц N в системе (условие нормировки):

В случае, когда движение частиц подчиняется классической механике, энергию E_i можно считать состоящей из кинетической энергии E_iкин частицы (молекулы или атома), её внутренней  энергии E_iвн (напр., энергии возбуждения электронов) и потенциальной энергии E_i,_пот во внешнем поле, зависящей от положения частицы в пространстве:

E_i = E_i, кин + E _i, вн + E_i, пот            (2)

Распределение частиц по скоростям  является частным случаем распределения Больцмана. Оно имеет место, когда можно пренебречь внутренней энергией возбуждения

E_i,вн и влиянием внешних полей E_i,пот. В соответствии с (2) формулу (1) можно представить в виде произведения трёх экспонент, каждая из которых даёт распределение частиц по одному виду энергии.

В постоянном поле тяжести, создающем ускорение g, для частиц атмосферных газов вблизи поверхности Земли (или др. планет) потенциальная энергия пропорциональна их массе m и высоте H над поверхностью, т.е. E_{i, пот} = mgH. После подстановки этого значения в распределение Больцмана и суммирования по всевозможным значениям кинетической и внутренней энергий частиц получается барометрическая формула, выражающая закон уменьшения плотности атмосферы с высотой.

В астрофизике, особенно в теории звёздных спектров, распределение Больцмана часто используется для определения относительной заселённости электронами различных уровней энергии атомов. Если обозначить индексами 1 и 2 два энергетических состояния атома, то из распределения следует:

n₂/n₁ = (ω₂/ω₁)•e^-(E₂^-E₁^)/kT            (3)      (ф-ла Больцмана).

 Разность энергий E₂-E₁ для двух нижних уровней энергии атома водорода >10 эВ, а значение kT, характеризующее энергию теплового движения частиц для атмосфер звёзд типа Солнца, составляет всего лишь 0,3-1 эВ. Поэтому водород в таких звёздных атмосферах находится в невозбуждённом состоянии. Так, в атмосферах звёзд, имеющих эффективную температуру Тэ > 5700 К (Солнце и др. звёзды), отношение чисел атомов водорода во втором и основном состояниях равно 4,2•10^-9.

Распределение Больцмана было получено в рамках классической статистики. В 1924-26 гг. была создана квантовая статистика. Она привела к открытию распределений Бозе - Эйнштейна (для частиц с целым спином) и Ферми - Дирака (для частиц с полуцелым спином). Оба эти распределения переходят в распределение, когда среднее число доступных для системы квантовых состояний значительно превышает число частиц в системе, т. о. когда на одну частицу приходится много квантовых состояний или, др. словами, когда степень заполнения квантовых состояний мала. Условие применимости распределении Больцмана можно записать в виде неравенства:

г де N - число частиц, V - объём системы.  Это неравенство  выполняется при высокой темп-ре и малом числе частиц в ед. объёма (N/V). Из этого следует, что чем больше масса частиц, тем для более широкого интервала изменений Т и N/V справедливо распределение Больцмана..

17. Явления переноса в газах. Средняя длина свободного пробега молекул. Коэффициенты диффузии, вязкости и теплопроводности в газах. Взаимосвязь коэффициентов переноса в газах и их зависимость от давления.

Беспорядочное тепловое движение молекул, непрерывные столкновения между ними приводят к тому что молекулы, хотя и сравнительно медленно, перемещаются из одной точки пространства в другую. В результате столкновения изменяются величины и направления скоростей молекул, что приводит к передаче импульса и энергии. По этой причине в газовой среде, если рассматривать бесконечно малые объемы отдельных участков среды, самопроизвольно возникают флуктуации плотности (концентрации), температуры и давления газа, которые мгновенно исчезают. Если данные неоднородности вызваны посторонним источником и носят постоянный характер, то хаотическое движение молекул стремится ликвидировать эти неоднородности. При этом в газе возникают особые процессы, которые носят название явлений переноса. К ним относятся диффузия, теплопроводность и внутреннее трение.

Если в локальном объеме распределена примесь другого газа (или увеличена плотность данного газа), то хаотическое движение молекул будет способствовать выравниванию концентрации газовых молекул. Процесс выравнивания концентрации газовых молекул называется диффузией. Наблюдения показывают, что в процессе диффузии через площадь поверхности   , расположенную нормально оси, вдоль которой происходит изменение концентрации вещества за время   , переносится масса вещества   , пропорциональная градиенту концентрации   , площади   и времени 

(12.1)

Это уравнение выражает закон Фика. Величина D называется коэффициентом диффузии. Знак минус означает, что масса переносится в сторону убывания концентрации. С точки зрения молекулярно-кинетической теории

Таким образом, коэффициент диффузии определяется средней длиной свободного пробега   и средней арифметической скоростью   молекул.

В случае неодинаковых температур в различных частях газа те молекулы, которые находятся в более теплых областях, в среднем обладают большей кинетической энергией, чем молекулы в более холодных областях. И здесь молекулярное движение сопровождается суммарным переносом энергии в направлении более холодных частей газа, вследствие чего происходит выравнивание температуры. Этот процесс называется теплопроводностью. Явление теплопроводности заключается в переносе теплоты   от более горячего слоя с температурой   к более холодному, температура которого   , Закон теплопроводности был сформулирован Фурье: теплота   переносимая через элемент площади   за время   , пропорциональна градиенту температуры   , площади   и времени   :

(12.2)

где χ - коэффициент теплопроводности. Молекулярно-кинетическая теория дает  - удельная теплоемкость.

Если два соприкасающихся слоя движутся с различными скоростями, то может происходить выравнивание скоростей слоев газов. В среднем импульсы молекул таких слоев различны - молекулы более быстрых слоев имеют большие значения импульсов. Переход молекул из быстрых слоев в более медленный сопровождается переносом импульса упорядоченного движения. Противоположное по характеру действие оказывают молекулы медленного слоя, перешедшие в быстрый слой, - в этом слое возникают тормозящие силы. Суммарный эффект при этом - выравнивание скоростей слоев. Это явление называется внутренним трением. При этом закон, установленный Ньютоном, гласит: сила вязкости F пропорциональна градиенту скорости   и площади S трущихся слоев:

(12.3)

η - коэффициент внутреннего трения (динамическая вязкость). С точки зрения молекулярно-кинетической теории