7 Уравнения в полных дифференциалах

P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 называется уравнением в полных дифференциалах если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции u(x;y), т.е. P(x;y)dx+Q(x;y)dy=du(x;y). В этом случае ДУ можно записать в виде du(x;y)=0, а его общий интеграл будет u(x;y)=с. Для того чтобы выражение P(x;y)dx+Q(x;y)dy, где функции P(x;y) и Q(x;y) и их частные производные и непрерывны в некоторой области D, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия: = .

8 Интегрирующий множитель

Функция μ(x;y) называется интегрирующим множителем для уравнения P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0, если уравнение μ(x;y)P(x;y)dx+μ(x;y)Q(x;y)dy=0 есть уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель удовлетворяет уравнению

Если (не зависит от y), то  . Если  (не зависит от x), то  .

9 Ду высших порядков, задача Коши. Общее, частное решение. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши

ДУ порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка: F(x;y;y^’;y^’’)=0 или y^’’= F(x;y;y^’). Общее решение ДУ – функция y= , где произвольные постоянные. Решение y= , получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянной называется частным решением. Задача нахождения решения ДУ, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

Если в уравнении y^’’= F(x;y;y^’) функция F(x;y;y^’) и ее частные производные непрерывны в некоторой области D то для всякой точки (x₀;y₀;y₀^’) принадлежащей D существует единственное решение y= , удовлетворяющее начальным условиям.

10 Уравнения допускающие понижение порядка

Один из методов интегрирования ДУ высших порядков – метод понижения порядка. Суть метода в том, что с помощью замены переменных данное ДУ сводится к ДУ порядок которого ниже. 3 типа уравнения допускающих понижение порядка: y^’’=f(x) y^’’=f(x, y^’) y^’’=f(y, y^’)

11 Линейные ду высших порядков. Т. О существовании и единственности решения задачи Коши. Т. О св-ве решений лоду

Ур-е + …+ наз-ся ЛНДУ n-го порядка.

Если f(x)=0, то ур-е наз-ся ЛОДУ n-го порядка. З.Коши для ЛДУ определяется начальными условиями:

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Если все коэф-ты и f(x) непр-ы на [a,b], то на всем этом отрезке сущ-т единственное реш--е з.Коши.

Теорема о свойстве решений линейных однородных дифференциальных уравнений.

1. Если явл-ся реш-ми ЛОДУ, то ф-я также яв-ся реш-м ЛОДУ при

2. Если комплекснозначная ф-я яв-ся реш-м ЛОДУ, то ф-и в отдельности также явл-ся реш-и ЛОДУ.

12 Линейная независимость функций. Определитель Вронского

Ф-и y₁, y₂, …, y_n наз-ся линейно зависимыми на (a,b), если сущ-т такие const α₁, α₂, …, α_n, при кот-х выпол-ся α₁у₁(х)+ α₂у₂(х)+…+ α_nу_n(х)=0, x (a,b).

Если это равенство выполняется лишь при α₁=α₂=…=α_n=0, то ф-и у₁, у₂, …, у_n наз-ся линейно независимыми на (a,b).

ТЕОРЕМА: Ф-и у₁(х) и у₂(х) линейно зависимы на (a,b) только тогда, когда ; и линейно независимы, если

Для системы из n ф-й вопрос о линейной зависимости реш-ся с помощью определителя Вронского:

ТЕОРЕМА: Если у₁, у₂, …, у_n линейно зависимы на (a, b), то

13 Структура общего решения ЛОДУ высших порядков

ТЕОРЕМА:

1.Любое ЛОДУ n-го порядка имеет ровно n линейно независимых реш-й

2.Общее решение ЛОДУ имеет вид:

у=С₁у₁(х)+С₂у₂(х)+…+С_ny_n(x), где С₁, С₂, …, С_n – произвольные const

Определение: Любая система n линейно независимых реш-й ЛОДУ наз-ся фундам-ой системой реш-й (ФСР) этого ур-я.

14 Формула Лиувилля для определителя Вронского, построенного на ФСР ЛОДУ

ТЕОРЕМА (Формула Лиувилля): Если у₁(х), у₂(х)–ФСР ЛОДУ 2пор-а с перем-и коэф-ми

то опред-ль Вронского, состав-ый из этих ф-й имеет вид: , где х₀ – произвольное значение, взятое из обл. непре-ти коэф-в а₁(х) и a₂(х)

Следствия т.к. то

_1.если

_2.если

15 Теорема об отыскании второго решения ЛОДУ 2-го порядка по известному первому решению

Если известно одно частное реш-е у₁(х) ЛОДУ с переменными коэф-ми

y=0, то второе реш-е этого ур-я у₂(х) из ФСР нах-ся по ф-ле:

16 ФСР ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.

Рас-м ур-е y”+py’+qy=0 (1), где p и q – const. Если функции y₁=y₁(x) и y₂=y₂(x) являются частными решениями уравнения, то решением этого уравнения является так же функция y=c₁ y₁(x)+c₂ y₂(x), где c₁ и c₂ – произвольные постоянные. Характеристическое уравнение: k²+pk+q=0. Если характеристическое уравнение  имеет два различных действительных корня  ,  , то общее решение однородного уравнения выглядит так:  , где   – константы.

Если характеристическое уравнение  имеет два кратных  действительных корня  , то общее решение однородного уравнения принимает вид:  , где   – константы. 

Если характеристическое уравнение  имеет сопряженные комплексные корни  ,  , то общее решение однородного уравнения принимает вид:  , где   – константы.