33. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора в круге. Разложение функции в ряд Лорана в кольце.

Ряд Тейлора. Пусть функция w = f(z) аналитична в области D, . Обозначим L окружность с центром в z₀, принадлежащую области D вместе с ограниченным ею кругом. Тогда для любой точки z, лежащей внутри L, . Представим множитель в виде суммы сходящейся геометрической прогрессии: (так как

| z – z₀| < | t – z₀| , то ) , и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать: , так как . Итак,

.

Ряд в правой части этого равенства - ряд Тейлора функции f(z). Этот ряд абсолютно сходится внутри контура L, а в качестве L можно взять любую окружность, которая не выходит за пределы области D. Доказана

Ряд Лорана. Пусть функция f(z) аналитична в кольце . Тогда для любой точки этого кольца ; при этом окружности проходятся так, что область остаётся слева

34. Нули аналитических функций. Правила определения порядка нулей.

        Определение. Точка а называется нулём порядка k аналитической функции f(z), если f(a) = f ′(a) = f ″(a) = ... = f ^(k−1)(a) = 0, но f ^(k)(a) ≠ 0.         Пример. Пусть . Точка a = 0 - нуль этой функции, так как f(0) = 0. Найдём порядок нуля:

f ″(z) = − sin z + z,  f ″(0)= 0,

f ^{( 3 )}(z) = − cos z + 1, f ^{( 3 )}(0) = 0,

 f ^{( 4 )}(z) = sin z, f ^{( 4 )}(0) = 0,

f ^{( 5 )}(z) = cos z, f ^{( 5 )}(0) = 1 ≠ 0,. Первая отличная от нуля производная функции в точке a = 0 - пятая, поэтому эта точка - нуль пятого порядка функции .

35. Классификация особых точек фкп. Изолированные особые точки.

Точка а С_z называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f (z), если f (z) аналитическая и однозначная (регулярная) в кольце {z:0<|z–a|< }, а в самой точке а не определена.

Бесконечно удаленная точка называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f (z), если f (z) регулярна в некоторой окрестности {R<|z|< } точки z= и функция

имеет в точке  =0 изолированную особую точку однозначного характера.

В зависимости от поведения функции f (z) вблизи точки а различают следующие три типа особых точек.

Изолированная особая точка а функции f (z) называется

а) устранимой особой точкой, если существует конечный предел

б) полюсом, если

в) существенно особой точкой, если

не существует.

36. Вычеты, их вычисление в особых точках. Вычет в бесконечно удаленной точке.

   Вычет относительно бесконечно удаленной точки

(f(z) - аналитическая в области обход контура - по часовой стрелке).

c_-1 - коэффициент при z^-1 в разложении f(z) в ряд Лорана в окрестности точки .

     Вычисление вычета в бесконечно удаленной точке

     1. - правильная точка:

- нуль:

     В частности, если при то

     2. - полюс порядка не выше m:

     3. Если f(z) представима в виде где - аналитическая в точке то

     Если f(z) имеет конечное число особых точек z_k, k = 1, 2, ..., n, в конечной части плоскости, то

37. Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов.

Если аналитична в некоторой замкнутой односвязной области , за вычетом конечного числа особых точек , из которых ни одна не принадлежит граничному контуру , то справедлива следующая формула:

, где  — вычет в точке .

Из теоремы о В. вытекает теорема о полной сумме вычетов: если f(z) - однозначная аналитич. функция в расширенной комплексной плоскости, кроме конечного числа особых точек, то сумма всех В. функции f(z), включая В. в бесконечно удаленной точке, равна нулю.