2 4 Уравнение динамики популяций, живущих за счет общего ресурса

Рис. 5.19. Эволюция многовидовой популяции X.

Популяция состоит из видов X1, X2, X3

Это уравнение описывает конкуренцию и отбор нескольких видов или подвидов, существующих за счет одних и тех же ресурсов К. Кроме того в нем имеется флуктуационный член, с помощью которого можно имитировать процесс мутации, случайное появление новых типов особей. Выживают только наиболее приспособленные мутанты, которые имеют наибольший коэффициент прироста ri, и наименьший коэффициент потерь mi. Интересно отметить, что кривая на рис. 5.19, показывающая, как последовательно сменяются при увеличении параметра К – m/r периоды роста и пики семейства решений логистического уравнения, может также описывать размножение некоторых технологических процедур или продуктов.

Открытие или технологическое новшество, появление нового продукта нарушает сложившееся социальное, технологическое или экономическое равновесие. Такое равновесие соответствует максимуму кривой роста техники или продуктов производства, с которыми новшеству приходится вступать в конкуренцию.

25. Уравнение Ланжевена

Уравнение Ланжевена — стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее броуновское движение. Ускорение броуновской частицы массы выражается через сумму силы вязкого трения, которая пропорциональна скорости частицы шумового члена (стохастического процесса в дифференциальном уравнении) — за счёт непрерывных соударений частицы с молекулами жидкости, и  — систематической силы, возникающей при внутримомекулярных и межмолекулярных взаимодействиях:

26. Уравнение популяций типа хищник-жетва

До сих пор мы рассматривали взаимосвязь и развитие популяций, существующих за счет одинаковых источников (ресурсов). Вторым распространенным типом сосуществования популяций является отношение хищник-жертва. Будем считать, что жертва Х имеет неограниченный источник питания, а хищник – Y питается за счет своей жертвы. При этих допущениях в простейшем виде ситуация описываться следующими, уравнениями:

dX / dt = rKX – sXY

dX / dt = sXY – βY

Представленные выше уравнения рассматривались как детерминированные. В действительности же в силу тех или иных причин эти уравнения должны описывать случайный процесс в пространстве переменных {Xi }. Чтобы макроскопическое описание было более точным, необходимо вывести соответствующие фундаментальные уравнения. Кроме того, в системе имеются структурные флуктуации в виде мутаций, что вносит дополнительный элемент случайности. Наконец, из-за флуктуаций во внешней среде происходит непрерывное изменение коэффициентов ri , Ki, S, ß.