4 Обработка результатов наблюдений

4.1 Предварительные замечания

Измерения – это сравнение измеряемой величины с другой величиной, принятой за единицу измерения [36 – 39].

Измерения делятся на прямые и косвенные.

Прямые измерения состоят в сравнении определяемой величины с единицей измерения непосредственно или при помощи измерительного прибора, проградуированного в соответствующих единицах измерения.

При косвенных измерениях искомая величина вычисляется.

Результат измерений всегда является приближенной величиной. Точность результата определяется, во-первых, точностью прибора, во-вторых, погрешностями измерения. Точность прибора задается классом точности прибора или указывается в паспорте. Если оговорки отсутствуют, то приборная погрешность принимается равной половине наименьшего деления шкалы. Погрешности измерения делят на случайные и систематические. Случайные погрешности обусловлены случайными факторами, которые заранее не могут быть учтены, например, ошибка на параллакс и т.п. Систематические погрешности обусловлены методами измерения, установкой прибора и т.п., то есть могут быть исключены. Если случайная погрешность в данных измерениях много меньше приборной погрешности, определяемой точностью прибора, то нет смысла уменьшить величину случайной погрешности результат точнее не будет, даже если повторять измерения многократно. Если случайная погрешность много больше приборной, то целесообразно многократное повторение измерения с целью уменьшения случайной погрешности. При большом числе измерений погрешность одинаковой величины, но разных знаков встречаются одинаково часто. Погрешности большие встречаются реже погрешностей малых.

Важными являются понятия генеральной совокупности случайной величины и выборки. Генеральная совокупность включает все допустимые значения случайной величины. На практике же имеют дело только с выборками генеральной совокупности. Выборка называется репрезентативной, то есть представительной, если она дает достаточное представление об особенностях генеральной совокупности. Если о генеральной совокупности ничего не известно, то единственной гарантией репрезентативности может служить случайный отбор, что достигается путем перемешивания, то есть рандомизации. Во многих случаях приходится иметь дело с не репрезентативными, то есть малыми выборками, когда возрастает роль случайности. Выводы сделанные на основе анализа малой выборки имеют меньшую точность, то есть находятся в более широком доверительном интервале. Функции распределения случайных величин в выборке отличаются от таковой в генеральной совокупности, но различие уменьшается по мере роста числа наблюдений.

Важными характеристиками являются, во-первых, среднее и, во-вторых, дисперсия, которые при данном объеме выборки являются случайными величинами и имеют свои распределения. С ростом числа наблюдений, то есть ростом объема выборки, среднее и дисперсия приближаются к характеристикам генеральной совокупности, то есть к генеральному среднему (математическому ожиданию) и генеральной дисперсии. Формально

где - число наблюдений в выборке,

- измерение в i наблюдении,

- среднее по выборке,

- математическое ожидание,

- дисперсия выборки.

При обработке результатов важным является вопрос об исключении грубых результатов или промахов. Считается, что результат измерения, отклоняющийся от среднего более чем на величину 3 настолько мало вероятен, что его можно рассматривать как промах и исключить. Здесь ² – это постоянная величина, называемой генеральной дисперсией распределения, а  – это генеральный стандарт распределения.

Примечание. Строго говоря, вопрос об отсеивании промахов требует отдельного анализа, см. далее.

Характеристики результатов наблюдений:

a – истинное значение измеряемой величины,

n – число измерений,

a_i (i = 1,…n) – результат отдельного i – го измерения,

a_i = a - a_i – истинная абсолютная погрешность итого измерения,

- среднее выборки,

. истинное значение измеряемой величины.

Доверительная вероятность и доверительные интервалы. Так как выборочные параметры являются случайными величинами, их отклонение от генеральных характеристик также будут случайными. Оценка этих отклонений носит вероятностный характер, так как указать вероятность той или иной погрешности. В связи с этим используется понятие доверительного интервала и доверительной вероятности. Допустим истинному значению “a” соответствует экспериментальная величина a^/. Если обозначить различие между ними _ то вероятность того, что различие это не превысит величины _, называют доверительной вероятностью , которая характеризует надежность полученной оценки

Ошибки больше чем будут появляться с малой вероятностью р = 1 - . Величину р = 1 -  называют уровнем значимости. Доверительный интервал – это . Он лежит в границах , границы называют доверительными. Доверительный интервал при данной доверительной вероятности определяет точность оценки. Величина доверительного интервала зависит от доверительной вероятности, с которой гарантируется нахождение величины, а внутри доверительного интервала. Чем больше величина,  тем больше может быть принята и величина . Таким образом, чем с большей надежностью гарантируется полученный результат, тем в большем интервале значений он должен находится. Увеличение числа опытов приводит к сокращению доверительного интервала при постоянной доверительной вероятности. Если сохранить доверительный интервал, то увеличение числа опытов приведет к повышению доверительной вероятности. Обычно на практике значение доверительной вероятности фиксируют на определенном уровне (0,9; 0,95; 0,99) и исходя из этого определяют доверительный интервал результата.

Примечание. Ранее вместо доверительной вероятности иногда использовался термин надежность результата.

Подтверждением изложенных положений является следующее. Допустим, имеем число параллельных наблюдений n  30. Если принять , то доверительная вероятность   0,68. За пределы доверительного интервала при выполнении n измерений попадут результаты измерений, составляющие долю (1 - ) = 32 %. Если выбрать , то получаем,   0,95 за пределами доверительного интервала оказываются 5 % всех результатов. Если же выбрать то доверительная вероятность составит 0,997, то есть за пределами доверительного интервала оказывается только 0,3 % результатов.

В случае малой выборки необходимо учесть возможное отличие распределения малой выборке от нормального. В частности малая выборка может следовать распределению Стьюдента, которая с ростом числа наблюдений приближается к нормальному. Если выборка представительная, то или , где - средняя квадратичная погрешность серии n измерений. В случае доверительный интервал в малой выборке увеличивается с использованием распределения Стьюдента до . Величины критерия Стьюдента t(n,) определяется по таблицам распределения Стьюдента для принятой доверительной вероятности  и числа степеней свободы  = (n – 1).