Эмс с электростатическим взаимодействием

Предположим, что электропотенциаль-ная энергия конденсатора зависит от линейной координаты h или угловой координаты  (рис. 9.6).

Тогда электростатическая сила.

(9.48)

Если считать, что величина потенциальной энергии зависит от геометрической координаты h, то для электростатической силы получим

(9.49)

Учитывая, что величина емкости определяется формулой

(9.50)

и зависит от:

- абсолютной диэлектрической проницаемости;

A - общей плоскости двух пластин;

- расстояния между ними,

Для емкостной машины

(9.55)

В принципе емкостная машина обратима, т.е. она может работать в режиме генератора.

В общем виде уравнения электростатических сил и ЭДС

(9.56)

(9.57)

Эти уравнения позволяют установить электромеханическое взаимодействие в электрическом поле, осуществляемое по координатам.

Если взять производную от первого выражения по , а от второго по , то

(9.58)

Это выражение определяет теорему симметрической взаимности электромеханического взаимодействия в электрическом поле по координатам. Коэффициент позволяет судить о нелинейном характере уравнений.

Уравнения простейших эмс

Для вывода уравнений определим выражения для функций, входящих в уравнение Лагранжа-Максвелла: Т, П, D.

Рассмотрим простейшую индукционную систему, механические составляющие которой записываются

(9.59)

Кинетическая энергия и тепловые потери для индукционной системы

(9.60)

Дифференциальные уравнения имеют вид

(9.61)

Электрические составляющие для электростатических систем

(9.62)

В этом случае уравнения будут иметь вид

(9.63)

Для второй формы записи:

Электрические составляющие для индукционных систем

(9.64)

Дифференциальные уравнения имеют вид

(9.65)

Электрические составляющие для электростатических систем

(9.66)

Электромагнитные силы

На проводник с током в магнитном поле действуют механические силы, которые называются электромагнитными или электродинамическими. Электромагнитные силы возникают и в одиночном контуре и определяются током в контуре.

Рассмотрим систему, состоящую из n контуров с токами. Положение контуров определяется некоторым числом обобщенных координат h. Механические силы, стремящиеся изменить координаты системы, являются также обобщенными силами.

Пусть под действием силы f некоторая координата h получит приращение dh в направлении действия силы, а остальные координаты остаются неизменными. В этом случае совершается работа f dh. В тоже время произойдет изменение энергии магнитного поля на величину d_hW_M. Здесь индексом h отмечается, что происходит только одно изменение обобщенной координаты

. (7.19)

Электромагнитная сила, стремящаяся изменить данную координату системы, равна убыли энергии магнитного поля, отнесенной к единице производимого силой изменения координаты в предположении, что потокосцепления контуров остаются неизменными.

Если функция не зависит от тех или иных переменных, то она называется вырожденной.

Уравнения Лагранжа второго рода

Механическая система, имеющая S степеней свободы, описывается уравнениями Лагранжа второго рода:

Даламберовы силы инерции,

силы трения

силы упругого противодействия,

Ps- обобщенные внешние силы (моменты).

. (4.71)

На основе этого уравнения можно записать систему уравнений для s- степеней

(4.72)

которую называют системой уравнений Лагранжа второго рода.

Система, обладающая только кинетической энергией

Этот случай встречается наиболее часто, т.к. в принципе действия многих преобразователей лежит использование именно кинетической энергии. Для таких преобразователей обобщенная сила находится из выражения

(8.12)

В случае системы с n степенями свободы можно составить n уравнений следующего вида

. (8.13)

Здесь коэффициенты постоянны, имеют смысл и размерность сопротивлений и определяются в виде отношения обобщенной силы к обобщенной скорости. Выражение (8.13) можно записать

. (8.14)

Для нелинейных систем могут быть получены равенства аналогичные уравнениям (8.10), но выраженные через скорости.