17. Формула главных площадок. Формулы главных напряжений при изгибе.

Определение главных площадок и главных напряжений На практике приходится часто решать задачу определения главных напряжений и положения главных площадок, если известны нормальные и касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках. Рассмотрим пример. Пусть на взаимно перпендикулярных площадках действуют нормальные напряжения   и  , и касательные   (см. рис. 1.12 а). Согласно закону парности касательных напряжений они должны быть равны на всех гранях. Из элемента вырежем призму (см. рис. 1.12 б) и рассмотрим ее равновесие. Длины сторон составляют dx и dy, наклонной площадки ds, толщину примем равной 1. Составим уравнения статического равновесия относительно осей U и V. ; . Рисунок 1.12 Так как dx = ds cos , dy = ds sin , подставим их значения и упростим: ;  (1.9) ; ;  (1.10) В случае, если площадка главная при  , на ней   и из формулы (1.9) получим: ; ;  (1.11) По формуле (1.11) можно определить одну из главных площадок. Вторая площадка перпендикулярна ей, следовательно будет расположена под углом  . Формулу (1.10) несколько преобразуем, заменим:  и  ; ;  (1.12) Для определения значений главных напряжений, нужно вместо   подставить  , заменив: и  . Вместо   подставим его значение из формулы (1.11): Упростив, получим окончательную формулу:  (1.13) Для одного главного напряжения берется знак «плюс» перед корнем, для другого — «минус». Вывод формул для определения главных напряжений и главных площадок проще сделать, используя круг Мора (см. рис. 1.10) и рассматривая   как  , а   как  . ; (1.14) где r — радиус круга; ; (1.15) . Подставив значения r и OC в формулу (1.14), получим формулу (1.13). Из треугольника CDE находим  ; где  ,  . Подставив значения   и  , получим формулу (1.11). Положение главной площадки, где действует   определяют по направлению касательных напряжений. Их проекции на нормаль направлены от площадки (растяжение). Для   проекции касательных напряжений направлены к площадке (сжатие). Значение угла   можно также определить не только по формуле (1.11). Рассмотрим треугольник BDE , где  ;   при  . Получим . Наибольшие касательные напряжения равны радиусу r и согласно формуле (1.15) .

18. Изложить изгиб балок за пределом упругости

8.1. Изгиб статически определимой балки за пределом упругости. Пластический шарнир

    При расчете конструкций с учетом пластических деформаций диаграмма  - материала принимается идеализированная упругопластическая без упрочнения (рис. 8.1,б) (диаграмма Прандтля) или жесткопластическая (рис. 8.1, в).

Рис. 8.1. Диаграмма  - : а – для пластической стали с упрочнением; б – идеализированная диаграмма Прандтля упругопластического материала без упрочнения; в – диаграмма напряжений для жесткопластического тела

    Нагружение принимается простым – внешние силы в процессе деформации конструкции своего направления не меняют и изменяются пропорционально одному параметру. Пластические деформации в наиболее нагруженном сечении принимаем соответствующими диаграмме Прандтля  - (рис. 8.1, б).

    Если пластические деформации охватывают все сечение конструкции, то это сечение принимается за пластический шарнир.

    Рассмотрим однопролетную балку на шарнирных опорах, нагруженную силой F (рис. 8.2, а). Поперечное сечение балки имеет две оси симметрии.

    В наиболее нагруженном сечении балки в месте приложения силы максимальные нормальные напряжения в самых удаленных от нейтральной оси величинах ( фибровые напряжения ) определяются так

                          ;                  ;                            .

    При расчете по упругой стадии предельной нагрузкой считается такая, при которой фибровые напряжения в одном наиболее нагруженном сечении равны пределу текучести материала (эпюра 2 на рис. 8.2, а). При увеличении силы F пластические деформации в этом сечении будут распространяться от крайних волокон внутрь сечения (эпюры напряжений 3, 4 на рис. 8.2, а). В пластическую деформацию будут вовлекаться и соседние с самым напряженным сечения балки (рис. 8.2, б). Та нагрузка, при которой пластические деформации захватывают все сечение балки, считается предельной.

Рис. 8.2. Схема образования пластического шарнира: а – изменение распределения напряжений в сечении в середине балки с ростом нагрузки; б – распределение напряжений в различных сечениях в предельном состоянии

    Балка превращается в механизм с шарнирами на опорах и пластическим шарниром в пролете. Способность воспринимать возрастающую внешнюю нагрузку исчерпана.

    Пластический шарнир отличается от идеального шарнира тем, что в нем действует изгибающий момент постоянной величины М_пред, и он является односторонним, так как закрывается при разгрузке.

    Балка находится в состоянии предельного равновесия между внешними нагрузками (сила F_пред) и внутренними силами (М_пред) в пластическом шарнире.

    Для прямоугольного поперечного сечения М_пред определим как момент пары внутренних сил (рис. 8.3).

При пластических деформациях по всей высоте сечения (рис. 8.3, а): ; Если max  =  т только в крайних волокнах, а во всем сечении деформации упругие  у <  т(рис. 8.3, б), то Пластический момент сопротивления

Таким образом, несущая способность прямоугольного поперечного сечения при расчете по пластической стадии с образованием пластического шарнира в 1,5 раза больше по сравнению с расчетом по упругой стадии. При этом предельным состоянием сечения считается такое, при котором максимальное напряжение только в удаленном волокне от нейтральной оси равно  _т. Для поперечных сечений другой формы W_пл=nW_x. Для прокатных двутавров n=1,15 1,17, для круглого сечения n=32 / 27.