Где d?/dx - относительный угол закручивания. На основании закона Гука для сдвига можно записать

?? = G?? = G(d?/dx)?, (23)

где G - модуль упругости материала стержня при сдвиге.

Рис. 6

Величина касательных напряжений в каждой точке сечения прямо пропорциональна расстоянию ? от точки до центра масс сечения. На оси стержня при ? = 0; напряжение ? = 0; в точках, расположенных в непосредственной близости от поверхности стержня напряжения максимальны. Эпюра изменения ?? вдоль диаметра сечения показана на рис. 5.18, в. Так как величина относительного угла закручивания d?/dx неизвестна, зависимостью (5.47) для определения касательных напряжений в сечении не пользуются.

Элементарная внутренняя сила, действующая в плоскости сечения на площадку dA с напряжением ?? равна dQ = ???dA. Элементарный момент внутренних сил, действующий в плоскости сечения, т.е. элементарный крутящий момент, создаваемый силой dQ относительно центра сечения dT = ?dQ. Сумма этих моментов внутренних сил по всей площади поперечного сечения стержня равна крутящему моменту

.

Так как G = const и d?/dx = const, то

, (24)

где Ip - полярный момент инерции сечения.

Выразим величину угла закручивания, отнесенного к единице длины стержня

d?/dx = T/GIp. (25)

с учетом формулы (25) примет вид

?? = (T/Ip) ??. (26)

При инженерных расчетах интерес представляют наибольшие напряжения в сечении, т.е. напряжения на поверхности стержня при ? = d/2,

, (27)

где Wp = 2Ip/d- полярный момент сопротивления - отношение полярного момента инерции Ip сечения к расстоянию от наиболее удаленной точки сечения до центра масс.

Полярный момент сопротивления для стержня круглого сечения диаметром d равен Wp ? 0,2d3, а для стержня кольцевого сечения с внутренним диаметром d1 - Wp ? [0,2(d3 - d14/d)].

Условие прочности стержня при кручении с постоянным по длине поперечным сечением имеет вид

?max = Tmax/Wp ? ?adm, (28)

где Тmax - максимальный крутящий момент по длине деформируемого стержня; ?adm - допускаемое напряжение при кручении, для стали обычно равно 0,5 … 0,6 допускаемого напряжения ?adm при растяжении. Предельный из условия прочности крутящий момент определяют по формуле

Tu ? Wp??adm, (29)

а минимальный диаметр скручиваемого стержня, учитывая что Wp = = 0,2d3 ? Tmax/?adm равен

d ? . (30)

При сравнении стержней, выдерживающих одинаковый крутящий момент, т.е. имеющих поперечное сечение с равным полярным моментом сопротивления Wp, стержень с наименьшей площадью А поперечного сечения будет обладать меньшей массой. Для сравнения различных сечений применяют безразмерную величину, равную отношению Wp / . Чем больше эта величина, тем рациональнее по затратам материала сечение. Так, для швеллера, двутавра она равна 0,04 … 0,07, а для круглого кольца с отношением внутреннего диаметра к внешнему равному 0,9 - она равна 1,16. При кручении рациональным является использование стержней с круглым кольцеобразным сечением.

Определение деформаций при кручении стержней с круглым поперечным сечением

Деформация при кручении стержней определяется углом поворота поперечных сечений относительно начального положения. Воспользуемся формулой для выражения угла поворота сечения скручиваемого стержня на участке длиной dx

d? = (Tdx)/GIp. (31)

Полный угол закручивания на участке длиной ? равен

. (32)

Если крутящий момент T и величина GIp, называемая жесткостью при кручении, постоянны на всей длине ?, то полный угол закручивания в радианах будет равен

. (33)

Расчет стержней на прочность при кручении не исключает возможности возникновения недопустимых деформаций (углов поворота поперечных сечений) при целостности длинных стержней (деталей). Поэтому часто детали, испытывающие деформацию кручения, рассчитывают не только на прочность, но и на жесткость. Для обеспечения требуемой жесткости необходимо, чтобы наибольший относительный угол закручивания не превосходил допускаемого, т.е.

(d?/dx) = ? (d?/dx)adm, (34)

где (d?/dx)adm - допускаемый относительный угол закручивания в радианах на единицу длины стержня. Чаще (d?/dx)'adm задают в градусах на метр длины, тогда выражение будет иметь вид

(d?/dx)'adm. (35)

Величину (d?/dx)'adm выбирают в зависимости от назначения детали и ее размеров. В приборостроении (d?/dx)'adm принимают в пределах 20 угловых минут на длине 1 м, т.е. (d?/dx)'adm. =0,33 |?/м|. Из условия жесткости можно определить минимальный диаметр деформируемого стержня, учитывая, что Ip ? 0,1d4

(36)

или предельный по величине крутящий момент

Tu ?19 GIp. (37)

При совместных расчетах на прочность и жесткость при кручении диаметр стержня принимают равным наибольшему из найденных, а предельный крутящий момент Тuограничивают наименьшим, полученным при проверке по зависимостям.

Кручением называют деформацию, возникающую при действии на стержень пары сил, расположенной в плоскости, перпендикулярной к его оси (рис. 5.1).

 

Стержни круглого или кольцевого сечения, работающие на кручение, называют валами. При расчете валов обычно бывает известна мощность, передаваемая на вал, а величины внешних скручивающих моментов, подлежат определению. Внешние скручивающие моменты, как правило, передаются на вал в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес и т.п.

Пусть вал вращается с постоянной скоростью n об/мин. и передает мощность N Нм/с. Угловая скорость вращения вала равна   (рад/сек), а передаваемая мощность  .

Скручивающий момент равен  .

Если мощность задана в киловаттах, то величина скручивающего момента определяется по формуле

.            

Угол закручивания, приходящийся на единицу длины, называют относительным углом закручивания

.

Для обеспечения требуемой жесткости вала необходимо, чтобы наибольший относительный угол закручивания не превосходил допускаемого:

.         

Эта формула выражает условие жесткости вала при кручении. Обычно принимается   на 1 м длины вала.

Условие жесткости требует, чтобы максимальный относительный угол закручивания  , был меньше или в предельном случае равен допускаемому углу закручивания единицы длины вала, т.е.

 .           

Условие прочности при кручении вала круглого и кольцевого сечения

Условие прочности при кручении с учетом принятых обозначений формулируется следующим образом: максимальные касательные напряжения, возникающие в опасном сечении вала, не должны превышать допускаемых напряжений и записывается в виде

,                            (5.6)

где   берется либо на основании опытных данных, либо (при отсутствии нужных опытных характеристик) по теориям прочности, соответствующим материалу. Например, из теорий прочности для хрупких материалов, примененных для чистого сдвига, следуют такие результаты:

- из второй теории прочности

;                                (5.7)

-  из теории Мора

,                                 (5.8)

где  .

Из теорий прочности для пластичных материалов при чистом сдвиге получим:

- по третьей теории прочности

,                                              (5.9)

- по четвертой теории прочности

.