Метод сечений.
Для расчетов деталей машин и сооружений на прочность необходимо знать внутренние силы упругости, возникающие в результате действия приложенных к деталям внешних сил.
Метод сечений заключается в том, что тело мысленно разрезается плоскостью на две части, любая из которых отбрасывается и взамен нее к сечению оставшейся части прикладывается внутренние силы, действовавшие до разреза: оставшаяся часть рассматривается как самостоятельное тело, находящееся в равновесии под действием внешних и приложенных к сечению внутренних сил.
Рассмотрим брус, находящийся в равновесии под действием произвольной системы внешних сил (силы F1…Fn, распределенная нагрузка q). Рассечем его на две части произвольной плоскостью, перпендикулярной к его продольной оси, и отбросим одну из частей. Любая система сил может быть приведена к ее главному вектору и главному моменту, которые статически эквивалентны заданной системе сил.
Главный вектор может быть представлен в виде трех составляющих (трех проекций) по осям выбранной системы координат. Главный момент также может быть разложен на составляющие по осям координат (заменен тремя моментами относительно трех осей). Рассмотрим оставшееся сечение. Выбираем систему координат: начало координат помещаем в центр тяжести рассматриваемого сечения. Ось Oz направляем перпендикулярно сечению, т.е. вдоль оси бруса, оси Ox и Oy располагаем в плоскости сечения бруса.
На рис. 3.3. показаны шесть внутренних силовых факторов. В общем случае это три проекции главного вектора и три составляющих главного момента: Nz – продольная сила, Qx, Qy – поперечные силы, Mz – крутящий момент, Mx, My – изгибающие моменты.
Каждый из силовых факторов связан с определенной деформацией: если на брус оказывает действие только продольная сила Nz, брус испытывает деформацию – растяжение или сжатие, если действуют только поперечные силы Qx, Qy деформацией является сдвиг, если действует только крутящий момент Mz , имеет место кручение, а если действуют только изгибающие моменты Mx, My то брус работает на чистый изгиб.
Для определения каждого из внутренних силовых факторов необходимо составить уравнения равновесия для всех сил, действующих на оставленную часть бруса.
4. Напряжения. Нормальные и касательные напряжения. Понятие о напряженном состоянии.
Напряжение характеризует интенсивность внутренних сил, действующих в сечении.
Пусть в некоторой точке M
какого-либо сечения тела, по некоторой
малой площадке A
действует сила F
под некоторым углом к площадке (рис 63,
а). Поделив эту силу на площадь, найдем
возникающее в точке M
среднее напряжение (63,б).
Истинные напряжения в точке M
определяются при переходе к пределу
Т.о. напряжение есть внутренняя сила, отнесенная к единице площади сечения. Напряжение есть величина векторная. Единицы H/м2=Па, Н/мм2=Мпа.
Полное напряжение p можно разложить на составляющие по нормали (перпендикуляр) к площадке A и по касательной к ней. (63,в). Составляющую напряжения по нормали называют нормальным напряжением в данной точке сечения и обозначают греческой буквой σ (сигма); составляющую по касательной называют касательным напряжением и обозначают буквой τ (тау).
Т.к. угол между нормальным и касательным
напряжением всегда равен 90,
то модуль полного напряжения:
При растяжении, сжатии и чистом изгибе действует только нормальное напряжение, а при сдвиге и кручении – только касательные напряжения.
Нормальное напряжение считается
положительным, если оно направлено от
сечения (4,3 а). Касательное напряжение
считается положительным, если для
совмещения нормали к сечению с направлением
напряжения ее необходимо повернуть по
часовой стрелке (4,3 б).
Напряженное состояние в точке – совокупность напряжений, действующих по всевозможным площадкам, проведенным через эту точку. Исследуя напряженное состояние в данной точке деформируемого тела, в ее окрестности выделяют бесконечно малый (элементарный) параллелепипед, ребра которого направлены вдоль соответствующих координатных осей. При действии на тело внешних сил на каждой из граней элементарного параллелепипеда возникают напряжения, которые представляют нормальными и касательными напряжениями – проекциями полных напряжений на координатные оси.