2. Приведение к каноническому виду
При a = 0 уравнение (3.1) принимает вид:
5x2 + 4xy + 2y2 + 8x - 6y + 5 = 0 (3.2)
Приведем уравнение кривой (3.2) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей. Мы установили, что данная кривая — центральная, поэтому используем методику приведения к каноническому виду для уравнения центральной кривой.
Характеристическое уравнения для данной кривой будет иметь вид:
A(x, y) = 5x2 + 4xy + 2y2
Откуда следует, корни характеристического уравнения есть: l1 = 1, l2 = 6.
Расположение эллипса относительно начальной системы координат будет известно, если мы будем знать координаты центра и угловой коэффициент вещественной оси эллипса.
Уравнения для определения координат центра имеют вид:
Откуда
мы находим x0
= -
и y0
=
.
Следовательно, точка O¢
(-
,
)
есть центр данной кривой.
Угловой коэффициент оси O¢X можем определить по формуле:
б) Совершим параллельный перенос начала координат в точку O¢ (x0, y0). При этом координаты x, y произвольной точки плоскости в системе координат xOy и координаты x', y' в новой системе координат x'O'y' связаны соотношениями:
Подставив данные выражения в уравнение (3.1), получим:
5(x0 + x¢)2 + 4(x0 + x¢)(y0 + y¢) + 2(y0 + y¢)2 + 8(x0 + x¢) - 6(y0 + y¢) + 5=0
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим:
5x¢2+4x¢y¢+2y¢2+(10x0+4x0 + 8)x¢ + (4x0 + 4y0 - 6)y¢ + (5x02 + 4x0y0 + 2y02 + 8x0 - 6y0 + 5) = 0 (3.3)
В данном уравнении коэффициенты при x¢ и y¢ приравняем к нулю и получим систему уравнений:
Решив эту систему уравнений, мы получим, найденные уже раннее, координаты центра O¢ , x0 = - и y0 = . Подставив данные значения в уравнение (3.3), коэффициенты при x¢ и y¢ станут равными нулю, мы получим уравнение в системе координат x'O'y' :
5x¢2
+
4x¢y¢
+ 2y¢2
+
(
)
= 0
5x¢2
+
4x¢y¢
+ 2y¢2
-
= 0 (3.4)
в) Так как a12 = 2 ¹ 0, то для дальнейшего упрощения необходимо произвести поворота осей координат на угол a. При повороте осей координат на угол a координаты x', y' произвольной точки М плоскости в системе координат x'O'y' и координаты X, Y в новой системе координат XO'Y связаны соотношениями:
Подставим данные выражения в уравнение (3.4), получим:
5(Xcosa - Ysina)2 + 4(Xcosa - Ysina)(Xsina + Ycosa) + 2(Xsina + Ycosa)2 - = 0
(5cos2a + 4sinacosa + 2sin2a)X2 + (-6sinacosa + 4cos2a - 4sin2a)XY +
(5sin2a - 4sinacosa + 2cos2a)Y2 - = 0 (3.5)
В полученном выражении найдём такой угол a, чтобы коэффициент при XY стал равен нулю, для этого необходимо:
-6sinacosa + 4cos2a - 4sin2a = 0
2tg2a + 3tga - 2=0
Откуда,
при решении, находим два значения tga
= -2 и tga
=
.
В первом задании мы нашли, что угловой коэффициент вещественной оси O'X эллипса равен k = -2. Так как угловой коэффициент равен тангенсу, то из двух найдённых значений выберем tga = -2. Следовательно:
cosa
=
, sina
=
Подставив данные значения для sina и cosa в уравнение (3.5), коэффициент при XY станет равным нулю, получим:
(
)X2
+
(
)Y2
-
= 0
X2 + 6Y2 - = 0
(3.6)
- это каноническое уравнение данной кривой (3.1) при a = 0.