3. Исследование формы поверхности методом сечений
Проведём исследование графика уравнения (4.7) методом сечения плоскостями.
Рассмотрим
линии
,
полученные в сечениях гиперболического
параболоида плоскостями Y=h.
Эти линии определяются системой
уравнений:
Следовательно, уравнения проекций линий на плоскость ZO'X имеют вид:
:
Рассмотрим три случая:
Если h + >0, h > , запишем полученное уравнение в виде:
(4.8)
Уравнение (4.8) задаёт гиперболы с центрами в точках (0, h ,0).
Полуоси гипербол:
a
=
- действительная полуось, b
=
-
мнимая полуось, увеличиваются с
увеличением h.
При различных значениях h
получим семейство соответствующих
гипербол:
h
= 1 a=
; b=
; 
h=2 a=
; b=
; 
h=3 a=
; b=
; 
Изобразим данные гиперболы на рисунке:
Если h + =0, h = , запишем полученное уравнение в виде:
или
Данное уравнение задаёт две пересекающиеся прямые. Изобразим их на рисунке:
Если h + < 0, h< , запишем полученное уравнение в виде:
Данное уравнение задаёт сопряжённые гиперболы с центрами в точке (0, h, 0).
Полуоси гипербол:
a=
-
действительная полуось, b=
-
мнимая полуось, увеличиваются с
увеличением | h
|.
При различных значениях h получаем семейство соответствующих гипербол:
h=-1 a=
; b=
; 
h=-2 a=
; b=
; 
h=-3 a=
; b=
; 
Изобразим данные гиперболы на рисунке:
Рассмотрим
линии
,
полученные в сечениях гиперболического
параболоида плоскостями Z=h.
Эти линии определяются системой
уравнений:
Следовательно, уравнения проекций линий на плоскость XO'Y имеют вид:
:
(4.9)
Уравнение
(4.9) задаёт параболы,
с вершинами в точках V(0,
,
h)
и параметром
p=
.
При различных h
получим семейство соответствующих
парабол:
h
= ±1
:
h
= ±2
:
h
= ±3
:
Изобразим данные параболы на рисунке:
Рассмотрим
линии
,
полученные в сечениях гиперболического
параболоида плоскостями X=h.
Эти линии определяются системой
уравнений:
Следовательно, уравнения проекций линий на плоскость YO'Z имеют вид:
(4.10)
Уравнение
(4.10) задаёт параболы, с вершинами в V(h,
,0)
и параметром p=
.
При различных h
получаем семейство соответствующих
парабол.
h
= ±1
:
h
= ±2
:
h
= ±3
:
Изобразим данные параболы на рисунке:
4. Графики уравнения поверхности
Изобразим поверхность второго порядка в общеалгебраической и канонической системе координат.
График в общеалгебраической системе координат:
График в канонической системе координат:
5. Вывод
Исследовав каноническое уравнение (4.7) гиперболического параболоида, отметим следующее:
Оси O'Z и O'X являются осями симметрии поверхности. Центра симметрии у поверхности нет.
Рассекая поверхность горизонтальными плоскостями Y = h, в сечениях получаем:
h > - гиперболы с действительными осями, параллельными оси O'Z
h = - две пересекающиеся прямые
h < - сопряжённые гиперболы с действительными осями, параллельными оси O'Y
Рассекая поверхность плоскостями Z = h и X = h, в сечениях получаем параболы, с ветвями, направленными вниз (Z = h) или вверх (X = h).
Поверхность гиперболического параболоида бесконечна в направлении всех трёх координатных осей.