1. Доверительный интервал для мат. Ожидания при известной дисперсии.

СВ Х распределена по норм. закону с параметрами а и σ . σ известна , надежность γ будем считать заданной. Делаем выборку из n наблюдений. Мат. ожид. а оценим точечной оценкой Х выборочное среднее ( ) = 1/n - точечная оценка а.

Д( = Д (1/n ) = Д ( ) = = = n =

Оценка мат. ожид. распределена по закону нормальному с параметрами а; . Для получения интервала оценки вспомним формулу вероятности попадания в интервал. Р ( ⃓х-а⃓ < ℰ ) = 2 Ф( ) – функция Лапласа.

γ = Р(⃓ - a⃓ < ℰ) = 2 Ф( ) = 2 (t), t = ℰ =

Тогда надежность γ получается как: γ = Р{⃓ } = 2 (t)

Вероятность того, что а : Р{⃓ } =

Для вычисления доверительного интервала получаем: : ( ) (t)= γ/2

Из табл. функции Лапласа находим t и определяем интервал.

2. Для оценки мат. ожид. и неизвестной дисперсии

СВ Х распределена нормально с параметрами а и σ. Нужно с надежностью γ определить интервал

γ = Р(⃓ - a⃓ < ℰ) Рассмотрим СВ Т = , где S- исправленное среднее квадратическое отклонение.

S = γ = Р{ < } Введем обозначения: = =

Величина находится по статистической таблице. ℰ = Доверительный интервал: ( ; )

3. Интервал для среднего квадратичного отклонения при неизвестной дисперсии.

Пусть СВ Х распределена по норм. закону с параметрами а и σ. σ неизвестна, тогда интервал оценки σ

( ; ) n – объем выборки ; S – стандартное отклонение. и - квантиль = - по табл.

=

Существует еще один вариант оценки σ : S (1- q) < σ < S (1+ q) , q берется из табл. для известных n и γ

4. Доверительный интервал для вероятности биномиального распределения при больших n .

P → ( ; ) , где = - t , = + t , = , (t)= γ/2

29.

30.Одной из основных задач статистики является выдвижение предложений о статистическом распределении и обосновании этого предложения. Статистическим методом гипотезу можно только принять или опровергнуть, но нельзя доказать. Под статистической гипотезой понимают предположение о генеральной совокупности сделанное по выборке.

Эти гипотезы делятся: о предмете распределения и о виде распределения.

Одну из гипотез выбирают как основную (Н0), противоположную ей гипотезу считают конкурирующей и обозначают Н1

Гипотезы могут быть сложными и простыми.

Гипотеза о том, что М(Х)= Q0 считается простой гипотезой. Конкурирующая гипотеза Н1: М(Х) ≠ Q0 считается сложной, т.к. она состоит из 2 простых: М(Х)>Q0 ; М(Х) < Q0

На основе выборки принимают либо основную гипотезу Н0 , либо конкурирующую Н1. Правило , по которому отклоняют или принимают гипотезу называют статистическим критерием.

Основной принцип проверки гипотезы:

• Выполняется выборка из генеральной совокупности

• Она разбивается на 2 непересекающихся подмножества. (Область, для которой выполняется гипотеза Н0 и область, для которой выполняется гипотеза Н1)

• Проводится вычисление статистики выборки. Если полученная статистика попадает в область выполнения гипотезы , то гипотеза принимается.

При статистической проверке гипотезы могут быть получены ошибки 2- ух видов:

• Принимается гипотеза Н0, хотя на самом деле она не верна.

• Отвергается гипотеза Н0, хотя она верна.

Вероятность ошибки называют уровнем значимости критерия (α) Чем меньше α , тем меньше вероятность отклонить верную гипотезу. Под α обычно считают 0,05; 0,01; 0,005; 0,001

Ошибки:

Гипотеза Н0	отвергнуть	принять
верна	Ошибка 1-го рода, α	правильно
неверна	правильно	Ошибка 2-го рода, β

Методика проверки гипотезы:

Располагая выборкой формируют нулевую гипотезу (Н0) для каждого случая подбирают статистику критерия. Обычно выбирают N- нормальное распределение ; - распределение Пирсона; t- распределение Стьюдента; F- распределение Фишера.

По статистике критерия и уровню значимости определяют критическую область.

- выборка

Границы областей определяются из соотношения Р ( > ) = α

Р ( > ) = α/2 Р ( < ) = α/2

31.Рассмотрим проверку гипотез о законах распределения. Пусть необходимо проверить, что СВ Х подчинена определенному закону. Под альтернативной гипотезой считают, что Х не подчиняется закон. Заключение о проверке гипотез делают на основе критерия согласия. Наиболее употребляемый критерий согласия Пирсона. В это случае разбивают сумму

∆1	…..	∆m
	…..
	…..

= n *

- практические

- теоретические

Если практические частоты отличаются от теоретических достаточно сильно, то гипотезу отвергают. Если отличие мало, то гипотезу принимают.

В качестве меры расхождения между теоретическими и практическими значениями выборки Пирсон предложил рассчитывать величину хи ( )

= – n (*)

По Пирсону при n→∞ статистика имеет распределение к = m-n-1 , где m- число интервалов выборки ; n- число параметров распределения. Для нормального распределения N (a; ) число параметров 2, поэтому число степеней свобод к = m-3

Правило применения :

1. Вычисляем выборочное значение по формуле (*)

2. Выбираем уровень значимости критерия α и по табл. - распределения находим = (α; к)

3. Если < , то гипотеза Н0 отвергается, иначе нет оснований для отказа от гипотезы.

Необходимым условием применения критерия Пирсона является наличие в каждом интервале не менее 5 наблюдений. При меньших значениях интервалы объединяют.