34. Дисперсионный анализ.
В дисперсионном анализе устанавливается факт зависимости или не зависимости исследуемой случайной величины от одного или нескольких факторов.
Анализ проводится по каждому фактору отдельно или по нескольким факторам одновременно, т.е. мы можем выделить:
-однофакторный
-двухфакторный
-трехфакторный
Двухфакторный дисперсионный анализ.
Проводится аналогично однофакторному. По каждому фактору вычисляется свое отношение F, находится критическое , отличие в том, что появляется необходимость проверки зависимости факторов между собой.
Пусть проверяется влияние на величину х факторов А и В. Предположим, что фактор А имеет к-уровней, фактор В n-уровней. Измерение величины х на i-ом уровне фактора А и j-ом уровне фактора В обозначим .
Мат. ожидания:
Пусть
эмпирическим мат. ожиданиям соответствуют
истинные ожидания величин
,
,
m,
тогда основная гипотеза
состоит в том, что все мат ожидания
равны:
=
=
m
Для проверки гипотезы суммируют квадраты отклонения общего мат. ожидания и эмпирических измерений.
Сумма
разбивается на 3 компоненты Q=
.
Общая
сумма:
характеризует
влияние фактора А на величину Х и
называется рассеиванием по фактору А
описывает
влияние фактора В на величину Х и
называется рассеиванием по фактору В
указывает
на рассеивание СВ внутри комбинации
факторов и называется остаточное
рассеивание.
Т.к.
по условия величина Х имеет нормальное
распределение с дисперсией
, то величина
будет иметь распределение
(nk-1)-степенью
свободы.
Все мат. ожидания также будут распределены по нормальному закону:
Предположим,
что гипотеза
-верна,
тогда величина
будет распределена по закону
с (к-1) степенями свободы, величина
распределена по закону
с (n-1)-степенью
свободы, тогда
распределена по закону
с nk-1-(k-1)-(n-1)
= (к-1) (n-1)
степенями свобод.
Тогда отношение F определяются по формулам:
Задаем
уровень значимости α и по таблице
распределения Фишера находим критические
значения
со степенью свобод (к-1) и (к-1)(n-1)
и
со
степенями свободы (n-1)
и (к-1)(n-1).
Если
,
то гипотеза
принимается, что оба фактора не оказывают
существенного влияния на х.
Для вычисления Q удобней воспользоваться формулами:
35.
С
ростом числа факторов увеличивается
число измерений и соответственно число
вычислительных операций. Для упрощения
проверки используют альтернативные
схемы проведения эксперимента. Например
в трех факторном анализе популярен
латинский квадрат. Пусть СВ Х зависит
от трех факторов А, В, С. Каждый фактор
имеет n
уровней, тогда количество измерений
при полном исследовании будет
.
Идея латинского квадрата в том, что
выбираем измерения, в котором каждая
пара уравнений встречается только 1
раз.
Измеряемые значения х индексируют по факторам А и В.
и вычисляют отдельно для каждого уровня фактора С.
Эмпирическое мат. ожидание вычисляют по формулам:
-
t
– уровней фактора С
Далее
процедура анализа как и ранее. Выделяем
Q=
+
– рассеивание
по А ;
- по В ;
- по С ;
– остаточн.
=
=
=
Число степеней свободы одинаково для всех (n-1) и (n-1)(n-2). Решение о гипотезе принимается аналагично по сравнению с критическими значениями .
Рассмотрим общую схему трехфакторного анализа:
Предположим,
что на СВ х влияют 3 фактора: А,В,С.
Требуется определить степень влияния
факторов на х, т.е. существенно или нет
это влияние. Для этого факторы квантуются
(разбиваются на уровни) Делаются измерения
величины Х при разных значениях факторов.
Схема выбора комбинаций уровней факторов
называют планом эксперимента. Предположим,
что каждый фактор имеет S-
уровней, тогда число различных комбинаций
-
.
Получаем большой объем статистических измерений.
Для уменьшения числа измерений используют др. планы, например латинский квадрат.В этом случае выбирают только те измерения, когда комбинации не повторяются дважды и число измерений становится равной .
Обозначим
измерение
, в дисперсионном анализе предполагается,
что все измерения независимы и распределены
по нормальному закону с одной и той же
дисперсией
.
=
+
, где
- мат ожидание СВ х ;
- распределено по норм закону с мат ожид
равным 0 и дисперсией
Проверим гипотезу Н0 о том , что все мат ожид одинаковы, т.е. = m дл всех i,j,k
Эта гипотеза эквивалентна предположению, что ни один из факторов не влияет на величину Х.
Альтернативная гипотеза Н1 предполагает, что хотя бы 1 из факторов влияет на величину х, т.е. принимая Н0 мы отвергаем влияние всех факторов , принимая Н1, мы предполагаем , что хотя бы 1 фактор влияет на х, а для выявления степени влияния проводим дополнительные исследования.
36.Регрессионный анализ принимается аппроксимацией статистических данных некоторой функции, т.е. заменой статистических связей функциональной зависимостью. Решаются 2 задачи: выявление переменных фактов , влияющих на исследуемую СВ и оценка точности аппроксимации.
Задача РА ставится так: пусть на СВ Z влияют факторы Х, У,…., Т
Возможно влияние и других факторов , но если они не являются контролируемыми , то их можно не учитывать. Предположим, что для всех возможных величин указанных факторов выполняется соотношение: z = 𝜑( x,y,..t)+ℰ , где 𝜑( x,y,..t) – неизвестная функция ; ℰ - компонента учитывающая влияние некоторых факторов.
Считаем,
что ℰ
не зависит от Х, У,…., Т Предположим,
что ℰ
имеет норм. распределение. и ее мат
ожидание равно 0, а дисперсия
Основная цель РА – определение вида функции 𝜑. 𝜑 называют аппроксимирующей или прогнозирующей функцией.
Задача анализа разбивается на 2 этапа:
Определение структуры аппроксимирующей функции с точностью до неизвестных параметров. В частности вид функции одной переменной можно определить графически.
Определение коэффициентов аппроксимирующей функции из условий минимизации средней квадратической ошибки отклонений.
Пусть проведено n измерений факторов
Z |
X |
Y |
…….. |
T |
Z1 |
X1 |
Y1 |
…….. |
T1 |
Z2 |
X2 |
Y2 |
…….. |
T2 |
Z3 |
X3 |
Y3 |
…….. |
T3 |
тогда
для любой строки i
мы можем составить соотношение:
=𝜑
(
,
,
….,
,
a,
b,….,
h)
+
, где (
,
,
….,
)
– статистические данные; (a,
b,….,
h)
– неизвестные коэффициенты функции
𝜑;
- ошибка аппроксимации.
Средний
квадрат ошибки аппроксимации: 1/n
=
1/n
=
1/n
* S
Коэффициент 1/n не влияет на исследование функции S. Найдем коэффициенты функции a, b,…,h из условия минимизации.
=
-2
*
= 0
=
-2
*
= 0
=
-2
*
= 0
Получаем
:
,
,….,
=
(x,
y,…,
t,
,
,….,
) – является наилучшей функцией с т.з.
минимизации ошибки отклонения.
Точность
аппроксимации определяется дисперсией:
=
+
,
будет
равна 0
=
, где к- число параметров,
- статистические данные,
-
расчетные данные.
Для
оценки степени влияния остаточной
дисперсии вводим коэффициент:
=
= 1-
– коэффициент
детерминации. Он показывает на сколько
% независимые параметры оказывают
влияние на исследуемую величину z.
Если независимый параметр только один,
то
является оценкой корялляционного
отношения это
А
если еще зависимость линейная, то
равен квадрату коэффициента корреляции:
=
Одномерный РА
Рассмотрим
линейный вариант, т.е. аппроксимирующая
функция будет: Z
=
+ b
, тогда функция S
=
=
-2
*
= -2
Получаем систему:
=
= 1/n (
–
)
=
1/(n-2)
=
x
+
Для расчета мы можем использовать формулы из ТВ:
=
- a
,
где
и
- эмпирические мат. ожидания.
= а(x – )+
можно
оценить как:
=
-
*
- эмпирический
ковареационный момент
=
=
- эмпирические стандарт. средние
квадратич. отклонения
На
практике коэффициент ковариации считают:
=
1/n
- (1/n
)
(1/n
*
)
Если известно, что X и Z имеют норм. распределение, то полученная аппроксимирующая функция точно совпадает с регрессией. Это связано с тем, что норм. распределение СВ могут зависеть др от др только линейно. А т.к. в реальном мире согласно центральной предельной теореме большинство СВ распределено норм., то линейные связи между переменными имеют большое значение. Всвязи с погрешностями исх. данных и влияния неучтенных факторов , коэффициент а с некоторой достоверностью мы можем определить как значение внутри интервала. Доверительный интервал для а:
-
*
< a
<
+
*
, где
находится как Ф(
)
=
