§9 Интегрирование некоторых иррациональных выражений

Рассмотрим неопределенный интеграл вида , (8.1)

где - действительные числа, - натуральное число.

Символом обозначена функция, которая получается в результате выполнения арифметических операций над функциями и .

Интеграл вида (8.1) при помощи подстановки сводится к интегралу от рациональной функции относительно , или, как говорят, «рационализируется».

Действительно, пусть , тогда , , .

Значит, = , где - рациональная дробь относительно функция.

Рассмотрим частные случаи:

1. Пусть . Данный интеграл примет вид: .

Он рационализируется подстановкой .

2. Пусть . Будем иметь интеграл .

Он рационализируется подстановкой .

ПРИМЕР 1. Вычислить интеграл .

РЕШЕНИЕ.

Применим подстановку .

Тогда , , .

Поэтому

.

§10 Интегрирование дифференциального бинома

Выражение вида , где - рациональные числа, а - действительные числа, называется дифференциальным биномом.

Рассмотрим интеграл:

. (9.1)

Покажем, что дифференциальный бином интегрируется в следующих трех случаях:

1. Пуст - целое число.

1. - целые числа.

В этом случае подынтегральная функция является рациональной функцией аргумента , а поэтому интегрируется.

2. По крайней мере, один из чисел - дробный.

В этом случае интеграл (9.1) имеет вид:

,

где - общий знаменатель дроби . Как известно, такие интегралы рационализируются при помощи подстановки:

.

2. Пусть число – дробное.

Для удобства дальнейших рассуждений в интеграле (9.1) сделаем подстановку .

Отсюда имеем:

, .

Поэтому

, где .

1. Число - целое.

В этом случае рассматриваемый интеграл имеет вид:

,

где - знаменатель дроби . Такие интегралы рационализируются при помощи подстановки .

2. Число - целое.

Образуем исследуемый интеграл:

.

В этом случае интеграл имеет вид:

.

где - знаменатель дроби . Интегралы такого вида рационализируются при помощи подстановки .

Таким образом, мы получили, что интеграл вида (9.1) рационализируется, и поэтому выражается через элементарные функции, в следующих трех случаях:

1. Число – целое;

2. Число – целое;

3. Число - целое.

Причем, в случае а) рационализация интеграла осуществляется при помощи подстановки , где - общий знаменатель дроби . В случае б) интеграл рационализируется подстановкой , где - знаменатель дроби . В случае в) рационализация интеграла (9.1) осуществляется подстановкой , где - знаменатель дроби .

Академик П.Л.Чебышев (1821-1894) доказал, что во всех остальных случаях интеграл от дифференциального бинома через элементарные функции не выражается.

ПРИМЕР. Найти .

РЕШЕНИЕ.

Заметим, что в данном случае .

Тогда используем подстановку . Поэтому, .

.

Применив формулу интегрирования по частям, имеем

, где вместо необходимо подставить .