Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Функция является нечетной относительно , э.зн. = . Докажем, что в этом случае интеграл при помощи подстановки сводится к интегралу от рациональной функции.

Отмеченный интеграл преобразуем следующим образом:

.

Поскольку функция нечетная относительно , поэтому выражение является четным относительно и может содержать только в четных степенях. Значит, это выражение является рациональной функцией относительно :

, э.зн. .

Из последнего равенства, применив подстановку , следует:

, поскольку .

Таким образом, отмеченные подстановки приводят данный интеграл к рациональной функции относительно .

ПРИМЕР 4. Вычислить интеграл .

РЕШЕНИЕ. .

2. Функция является нечетной относительно , э.зн. = . В этом случае при помощи подстановки интеграл сводится к интегралу от рациональной функции.

3. Функция является четной относительно , э.зн. = . Докажем, что в этом случае при помощи подстановки интеграл сводится к интегралу от рациональной функции.

Преобразуем подынтегральную функцию:

.

Правая часть последнего равенства является четной относительно , поэтому может помещать только четные степени , а поскольку , то подынтегральная функция относительно , э.зн. .

Таким образом, применим подстановку и получим:

, поскольку .

ПРИМЕР 5. Найти интеграл .

РЕШЕНИЕ.

.

4. , где .

Очевидно, что можно пользоваться подстановкой , однако лучше использовать известные формулы тригонометрии:

.

ПРИМЕР 6. Найти интеграл .

РЕШЕНИЕ.

.

2. Рассмотрим интегралы вида:

.

Эти интегралы вычисляют при помощи формул:

,

.

ПРИМЕР 7. Вычислить интеграл .

РЕШЕНИЕ.

.

§13 Тригонометрические подстановки для нахождения интегралов вида .

Как было показано раньше, интегралы вида могут быть вычислены при помощи одной из подстановок Эйлера.

В этом параграфе рассмотрим прием вычисления интегралов данного вида, который основывается на использовании тригонометрических подстановок.

Квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата и замены переменной можно привести к виду или . Таким образом, достаточно ограничиться рассмотрением интегралов трех типов:

, ,

1. Докажем, что интеграл при помощи подстановки (или ) сводится к интегралу от рациональной функции относительно . Действительно,

.

2. Докажем теперь, что интеграл подстановкой сводится к интегралу от рациональной функции относительно .

.

3. Интеграл вида также можно свести к интегралу от рациональной функции относительно . Это можно сделать при помощи подстановки . Действительно,

.

Таким образом мы доказали, что любой из интегралов может быть сведен к интегралу вида , а такие интегралы изучались в §12.

ПРИМЕР.

.

§14 Интегралы, которые выражаются через элементарные функции

В предыдущих параграфах рассматривались классы элементарных функций, интегралы от которых выражаются через элементарные функции.

Было отмечено, что всякая непрерывная на промежутке функция имеет на этом промежутке первообразную. Однако не каждую первообразную можно выразить через конечное число элементарных функций.

Например, интегралы вида , где - многочлен степени , в общем случае не выражаются через элементарные функции. Если , то такие интегралы называются эллиптическими, если же , то ультраэллиптическими. Отметим, что в некоторых частных случаях интегралы могут выражаться через элементарные функции, они называются псевдоэллиптическим.

Примерами интегралов от трансцендентных функций, которые не выражаются через элементарные функции, являются следующие интегралы:

– интеграл Пуассона.

, – интегралы Френеля.

– интегралы логарифм.

- интегральный синус.

- интегральный косинус.