3.Обратная матрица.Ранг матрицы

Обра́тная ма́трица — такая матрица A^-1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.

Свойства

1) , где det обозначает определитель.

2)(AB) ^{− 1} = B ^{− 1}A ^{− 1} для любых двух обратимых матриц A и B.

3)(A^T) ^{− 1} = (A ^{− 1})^T где * ^T обозначает транспонированную матрицу.

4)(kA) ^{− 1} = k ^{− 1}A ^{− 1} для любого коэффициента   .

5)Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A ^{- 1}существует, то x = A ^{− 1}b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Пример 2.10. Для матрицы   найти обратную.

Решение. Находим сначала детерминант матрицы А      значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле:   , где А_{i j}(i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов а_{i j} исходной матрицы.                    

                    

                   

                  

 откуда    .

5.Однородные слу

Множество решений однородной линейной системы относительно n неизвестных является линейным подпространством пространства Rn. Размерность этого подпространства равна n − r, где r − ранг матрицы системы A. Любой базис пространства решений однородной системы линейных уравнений называется фундаментальной системой решений однородной системы. Иначе говоря, любая упорядоченная совокупность n − r линейно независимых решений однородной линейной системы образует фундаментальную систему решений однородной системы.

Например: Однородная система линейных алгебраических уравнений

с помощью элементарных преобразований может быть приведена к каноническому виду:

Ранг r матрицы равен 2, число n неизвестных равно 5, система нетривиально совместна. Размерность пространства решений этой однородной системы равна 3: d = n − I = 5 − 2 = 3. три линейно независимые решения системы

образуют базис пространства решений системы, т.е. образуют её фундаментальную систему решений.

4.Системы линейных уравнений. Матричный способ решения слу. Формулы Крамера. Метод Гаусса

Ме́тод Га́усса^[1] — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные^[2]. Пусть исходная система выглядит следующим образом

Матрица A называется основной матрицей системы, b — столбцом свободных членов.

Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных  ^[3].

Тогда переменные   называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число  , где i > r, то рассматриваемая система несовместна.

Пусть   для любых i > r.

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом   ( , где   — номер строки):

, где 

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

 

 Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевымопределителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Создан Габриэлем Крамером в 1751 году.^{[источник не указан 387 дней]}