17.Понятие предела числовой последовательности

Определение пределов последовательности и ф-ции. Осн. св-ва пределов ф-ции 1ой переменной.

а) Предел последовательности:

y=f(Un), где U₁,U₂,...U_n, а U_n=n/(n²+1)

П редел: число а называется пределом переменной x_n, если для каждого “+” как угодно малого числа (эпсилон) существует такой номер N, что при n>N разность |x_n-a|<

limx_n=a

n

-<X_n-a<

a-<X_n<a+

б) Предел ф-ции: y=f(x) число а называется пределом переменной х, если разность м/ду ними есть б.м.в. |x-a|0, |x-a|<

Число А называется пределом ф-ции f(x) при ха, если для каждого, как угодно малого на период заданного числа . ->0, найдется такое как угодно малое на период заданного >0, что будут выполняться неравенства: Если |x-a|<, то |f(x)-A|<

Основные св-ва: 1.Если величина имеет предел, то только 1.

2. limC=C, где С- постоянная величина

3. Если -б.м.в., то lim=0

4. предела б.б.в. не существует

5. если limy=a, то y=a+, где -б.м.в.

18.Непрерывность функции в точке

3 3. Непрерывность ф-ции в точке и на интервале.

x=x₀+x, x=x-x₀

y=f(x₀+x)-f(x₀)

Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной в точке x₀, если она определена в окрестности этой точки, а limy=0. (б.м. приращению аргумента соответствует б.м. приращению ф-ции).

limy=lim[f(x)-f(x₀)]=limf(x)-limf(x₀)=0, то

limf(x)=limf(x₀)

xx₀

Ф-ция непрерывна в точке х₀, если ее предел = значению этой ф-ции в точке х₀

Ф-ция явл. непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке.

19.Сравнение беск. Мал. Ф ф-ии,непрерывные на отрезке

Бесконечно малые величины и их св-ва:

величина называется б.м.в. в каком-то процессе, если она в этом процессе бесконечно уменьщается.(=m/V, если V, то 0)

Св-ва б.м.в.:

-сумма или разность конечного числа б.м.в. есть б.м.в. ( и -б.м.в., то =б.м.в.)

-произведение б.м.в. на величину ограниченную есть б.м.в. (U<=M, то *U=б.м.в.)

-произведение б.м.величин=б.м.в.

-произведение б.м.в. на постоянную = б.м.в

. Св-ва непрерывных ф-ций:в в отрезке:

1. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и f(a)*f(b)<0, т.е. знаки f(a) и f(b) противоположны, то на (a,b) найдется хотя бы одна точка х=с, что f(c)=0 (график)-теорема Больцана-Коши.

2 . Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом промежутке.

3. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она достигает на этом отрезке min m и max M (теорема Вейерштрасса).

в точке:

1. если ф-ция f(x) и g(x) непрерывна в х₀, то их сумма, произведение, частное (при (х₀)0) явл-ся ф-циями, непрерывными в х₀

2. если ф-ция y=f(x) непрерывна в х₀, и f(x₀)>0, то существует окрестность х₀, в которой f(x)>0

3. если y=f(U) непрерывна в U₀, а U=(x) непрерывна в U₀=(x₀), то сложная ф-ция y=f[(x)] непрерывна в х₀.

20.Производная и ее смысл

Определение производной и ее геометрический смысл.

1. _cp.=S/t, =lim(S/t), где t0

2. p_cp.=m/l, p_T=lim(m/l), где l0

y=f(x+x)-f(x), y=f(x)

lim(y/x)=lim((f(x+x)-f(x))/x)

x0 x0

Смысл производной - это скорость изменения ф-ции при изменении аргумента.

y=f(x+x)-f(x), y=f(x). производной в точке а называется предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента:

lim(y/x)=lim((f(x+x)-f(x))/x)=dy/dx

x0 x0

Вычисление производной: lim(y/x)=y` x0

1) если y=x, y=x, y`=x=lim(y/x)=1.

2) если y=x², y=(x+x)²-x²=x²+2xx+x²-x²=x(2x-x),

(x²)`=lim((x(2x+x))/x)=lim(2x+x)=2x

x0 x0

Геометрический смысл производной.

K N=y, MK=x

MNK/tg2=y/x

вычислим предел левой и правой части:

limtg=lim(y/x) x0

tg₀=y`

₀

При x0 секущая MNзанять положение касательной в точке M(tg₀=y`, ₀)

Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x₀.