Лекция 4 упругие свойства горных пород

4.1 Упругие параметры

Упругость характеризует свойство веществ сопротивляться изменению их объема и формы (твердые тела) или только объема (жидкости, газы) под воздействием внешних факторов (поверхностные силы, объемные силы, нагрев), что обусловливается возрастанием внутренней энергии веществ.

Деформация, т. е. изменение размеров и формы пород, является результатом относительного смещения атомов, молекул или ионов узлов кристаллической решетки минеральных зерен твердой фазы, молекул или ионов жидкой и газовой фаз. Деформации пород препятствуют внутренние силы – силы взаимодействия между их различными частицами.

Горные породы подразделяют на идеально и дифференциально упругие.

Идеально упругие горные породы – это те, которые полностью восстанавливают свои первоначальные размеры и форму после снятия напряжения внешних сил, не превышающих пределов упругости для данного тела. К ним относятся большинство минералов, магматических и метаморфических и некоторых осадочных горных пород, так как они, как правило, малопористые, а, следовательно, содержание жидкой и газообразной фаз в них невелико.

Дифференциально упругие породы – это те, которые не восстанавливают своей формы и размеров после приложенных воздействий. К ним относятся породы с большой величиной пористости, содержащие воду, газ (гравий, песок и другие горные породы, насыщенные нефтью, газом, водой).

Нагруженная порода находится в напряженном состоянии. Если в какой-то ее небольшой области действует изменяющаяся по величине и направлению сила, то в непосредственной близости от нее возникают изменяющиеся по величине и направлению смещения частиц, а также напряженные состояния породы. Таким образом, частицы рассматриваемой области приходят в колебания. Эти изменения напряженного состояния и колебания частиц распространяются на соседний и от него на последующие объемы породы, т. е. в породе проходят продольная и поперечная волны упругости. При этом в связи с поглощением и рассеянием энергии упругости в породе амплитуды распространяющегося в ней колебания уменьшаются, колебательный процесс затухает.

Для большинства горных пород, минералов и элементов в общем случае справедлив закон Гука, на котором основана теория упругости. Согласно этой теории малые деформации пропорциональны приложенной нагрузке. Для характеристики свойств идеально упругих тел используется одна из пар констант: модуль Юнга Е (модуль продольной упругости) и коэффициент Пуассона  (коэффициент поперечного сжатия); константы Ламе  и G (G – модуль сдвига); скорость продольных v_p и поперечных v_s волн.

Линейные деформации, возникающие по направлению действующей силы F (рис. 4.1, а), называются продольными, перпендикулярно ему – поперечными. Деформации, соответствующие касательным напряжениям (рис. 4.1, б), выражаются через угол сдвига  граней образца. Количественно величина деформации сдвига оценивается по величине tg. При небольших величинах углов tg.

Рисунок 4.1 –Деформация образца породы под действием

нормальных (а) и касательных (б) сил:

d – исходный поперечный размер образца; d – уменьшение поперечного размера образца; l – исходный продольный размер образца;

l – увеличение продольного размера образца;  –угол сдвига;

S – поперечное сечение, на которое передается усилие

Относительные изменения длин соответствующих ребер образца выражаются через относительные изменения е линейных размеров

,	(4.1)
.	(4.2)

Коэффициент пропорциональности между продольным (сжимающим или стягивающим) напряжением р и соответствующей ему относительной деформацией е₁ называется модулем упругости или модулем Юнга Е. Единицей измерения модуля Юнга в СИ является паскаль (Па).

.

(4.3)

Модуль Юнга характеризует способность тел сопротивляться деформации растяжения или сжатия.

Связь между относительными продольными и поперечными деформациями сжатия (растяжения) устанавливается коэффициентом Пуассона:

.

(4.4)

Модуль сдвига определяет способность тел сопротивляться изменению формы при сохранении их объема

,

(4.5)

где   касательное напряжение;

  угол сдвига.

Этот показатель используется при расчете устойчивости сооружений и массивов пород, давлений пород на ограждения и подземные сооружения.

Модуль Юнга и модуль сдвига связаны с коэффициентом Пуассона зависимостью:

.

(4.6)

Для характеристики упругих свойств используются также технические упругие постоянные коэффициента Ламе –  и G,  определяется следующим соотношением:

.

(4.7)

Под действием равномерного трехосного сжатия изменяются не только линейные размеры и форма тела, но и его объем. При этом объемная деформация пропорциональна среднему напряжению:

,

(4.8)

где k_вст – модуль всестороннего объемного сжатия;

V – изменение объема элементарного куба под действием внешней нагрузки;

V – начальный объем элементарного куба.

Модуль всестороннего сжатия связан с Е и  пород соотношением:

(4.9)

Единицей измерения модулей E, G и k_вст в системе СИ является Паскаль. Модуль сдвига G всегда меньше модуля Юнга для соответствующих пород. Значения k_вст могут быть как меньше, так и больше значений модуля Юнга.

Для горных пород величина Е изменяется от 0,1510^-4 до 0,610^-5 МПа,  для твердых тел изменяется от 0 до 0,5, в среднем близок к 0,25.

Возникающие в телах под действием механического напряжения деформации имеют различный характер и вызывают разные по природе волны – продольные р (от латинского prima – первый, поскольку они являются самыми быстрыми и приходят от источника к любой точке наблюдений первыми) и поперечные s (от латинского secunda – второй).

Продольные волны являются следствием деформаций растяжение-сжатие, поперечные  деформаций сдвига. В свободных газах и жидкостях возникают продольные волны и отсутствуют поперечные.

Рисунок 4.2 – Схема смещения частиц среды при распространении

продольных (а) и поперечных (б) волн.

1 – направление движения волн, 2 – частиц

Продольные и поперечные волны распространяются по всему объему. Кроме них существуют поверхностные волны. Частицы на поверхности горной породы находятся в особом состоянии, так как встречают меньшее сопротивление своему перемещению в сторону свободной поверхности. В результате на ней возникают плоские поверхностные волны, называемые волнами Релея и Лява. Они присущи только твердым телам. Колебания, вызванные этими волнами, распространяются в слое мощностью порядка длины волны. Волны Релея v_R характеризуются движением частиц по эллипсоидальной траектории в вертикальной плоскости вдоль луча. Они имеют вертикальную и горизонтальную составляющие. Волны Лява вызывают поперечные горизонтальные смещения (перпендикулярно лучу). Этот тип поверхностной волны возникает в слое, характеризующемся скоростью v_SL, залегающем на полупространстве со скоростью v_S2 при условии v_SL<v_S2. Фазовая скорость волны Лява v_L зависит от частоты и располагается в пределах v_SL< v_L<v_S2.

Соотношение скоростей упругих волн с другими константами упругости и с плотностью характеризуется следующими формулами:

- для скорости продольных волн:

;

(4.10)

- для скорости поперечных волн:

;

(4.11)

- для скорости поверхностной волны Релея:

;

(4.12)

- для отношения скоростей продольных и поперечных волн:

.

(4.13)

Данное отношение лежит в пределах v_p/v_s1,62,2 и в среднем равно 1,73.

При решении геологических задач применяется комплекс методов в широком частотном диапазоне: от сейсмических (низкочастотных с частотой до 500 Гц) до акустических с частотами 0,510 кГц и ультразвуковых на частотах свыше 10 кГц (табл. 4.1).

Таблица 4.1 – Основные виды сейсмоакустических исследований

Вид исследований	Частоты для р-волн, Гц
Сейсмические профильные и площадные наблюдения	30100
Акустический и ультразвуковой каротаж	20 00050 000
Ультразвуковые исследования образцов	20 00050 000

Скорости волн в идеально упругой однородной среде не зависят от частоты колебаний.

Однако в реальных породах наблюдается частотная дисперсия – зависимость скорости распространения упругих волн от частоты. Обычно расхождения в значениях скоростей, измеренных в сейсмоакустическом и ультразвуковом диапазонах частот не превышают 510 %, но в таких средах как слоистые песчано-глинистые породы или сильно трещиноватые массивы, величины скоростей продольных и поперечных волн измеренных на ультразвуковых частотах, могут в 1,52 раза превышать соответствующие значения для сейсмического диапазона. Это явление получило название квазидисперсия.

Величина скорости зависит от минералогического состава скелета и для конкретных типов отложений является постоянной. В породах с мономинеральной твердой фазой она соответствует скорости распространения упругих волн в породообразующем минерале (кварце, кальците, доломите и т. д.). При содержании в скелете породы нескольких минералов, отличающихся по своим упругим свойствам, скорость определяется как средняя взвешенная величина. Среднее значение скорости распространения волн в осадочных породах составляет 25004000 м/с.

Основными факторами, влияющими на скорость распространения упругих колебаний в горных породах, являются литолого-минералогический состав, поровое пространство, заполненное жидкостью (форма и размер пор играют меньшую роль), степень насыщения пор жидкостью или газом, степень цементации, текстурные и структурные особенности, разность горного и пластового давлений (эффективное давление) и др.

Скорость распространения упругих волн в нефти и газе меньше, чем в воде. Это объясняется большей сжимаемостью углеводородов, чем воды. Так, скорость распространения волн в песке, полностью насыщенном нефтью, на 1520 % меньше, чем в песке, заполненном водой.

Распространение упругих волн в горных породах сопровождается постепенным уменьшением их интенсивности по мере удаления от источника возбуждения.

Уменьшение интенсивности упругих колебаний в основном связано с поглощением части энергии упругих колебаний породой и превращением ее в тепловую вследствие взаимного трения частиц породы, совершающих колебательные движения, с рассеиванием акустической энергии и неоднородностями породы.

Амплитуда А упругих колебаний связана с пройденным волной расстоянием l экспоненциально:

,

(4.9)

где А₀  амплитуда упругих колебаний вблизи источника возбуждения;

_ак  коэффициент поглощения упругих волн.

Размерность _ак выражают в децибелах на 1 м или м^-1, относя величину ослабления к единице длины. Перевод величины затухания, измеренной в дБ/м, в м^-1, производится по формуле

.

Величина _ак в горных породах зависит от монолитности их скелета, пористости, трещиноватости, вещественного состава заполнителя пор и других параметров и вместе со скоростью широко используется при изучении пород.

Поглощающие свойства пород связаны с литологией еще более тесно, чем скорость распространения упругих волн. Интенсивность поглощения породой упругих колебаний зависит также от характера жидкости, заполняющей поровое пространство. В слабосцементированных нефтеносных и газоносных породах с хорошей пористостью затухание колебаний происходит более интенсивно, чем в таких же породах, но водоносных. Это особенно заметно в газоносных породах из-за большой разницы скоростей распространения упругих волн в минеральном скелете породы и заполняющем поровое пространство газе. Наибольшее затухание претерпевают упругие волны в трещиноватых и кавернозных породах.

Для характеристики поглощения используют также безразмерных параметр – декремент поглощения , равный произведению коэффициента поглощения на длину волны колебания :

,

(4.10)

где f – частота упругих колебаний.

Декремент поглощения  характеризует уменьшение амплитуды на расстоянии, равном длине волны колебаний.

При сейсмических исследованиях широко применяется акустическая жесткость Z или удельное волновое сопротивление, характеризующее способность среды отражать и преломлять упругие волны:

.

(4.11)

На скорость и поглощение упругих волн в породах существенно влияет эффективное давление. Его увеличение приводит к сжатию скелета породы, уменьшению ее пористости и увеличению контактной упругости между зернами, а, следовательно, к возрастанию скоростей упругих волн и уменьшению коэффициентов их поглощения.

С увеличением эффективного давления скорость в породах возрастает сначала быстро. По мере сближения и переукладки зерен породы под действием давления и улучшения акустического контакта между ними рост скорости замедляется. Дальнейшее ее увеличение определяется контактной упругостью зерен и при давлении, превышающем некоторое предельное, растет очень медленно.

При низком давлении даже незначительное содержание газа в жидком заполнителе пор приводит к резкому уменьшению скорости упругих волн в пласте. С ростом давления наблюдается ее плавное увеличение. В воде, находящейся под давлением около 60 МПа, скорость увеличивается примерно на 57 % по сравнению со скоростью в воде, находящейся при атмосферном давлении.