7 Элементы теории подобия

П о н я т и е о т е о р и и п о д о б и я

Движение жидкостей представляет собой сложное физическое явление, зависящее от многих факторов, всегда связанных друг с другом, причем связь между ними выражает физический закон, характеризующий данное явление. Физические законы могут быть представлены в виде математических уравнений.

Во многих случаях уравнения, выражающие физические законы, очень сложны и не могут быть решены известными математическими методами. Поэтому для изучения различных явлений, в том числе гидравлических, приходится прибегать к эксперименту. При опытном исследовании трудности задачи не исчезают, а переносятся на проведение опытов: необходимо огромное число опытов, чтобы установить влияние на данное явление каждого из многочисленных факторов, независимо от других. Проведение опытов в аппаратах больших размеров (натуральной величины) весьма затруднительно и связано с большими затратами времени и средств.

Вместе с тем результаты проведенных опытов будут верны только для тех условий, в которых они получены, и не могут быть с достаточной надежностью распространены на явления, аналогичные изученному, но происходящие в аппаратах, которые отличаются от испытанного. Таким образом, как чисто теоретический, так и чисто экспериментальный пути часто недостаточны для решения задачи. В этих случаях плодотворным методом исследования является применение теории подобия.

Теория подобия указывает, как надо ставить опыты и как обрабатывать опытные данные, чтобы, ограничившись минимальным числом опытов, иметь право обобщить их результаты и получить закономерности для целой группы подобных явлений.

Теория подобия позволяет с достаточной для практики точностью

изучать сложные процессы на более простых моделях, значительно отличающихся по размерам от аппаратов натуральной величины.

Чтобы уяснить сущность теории подобия, надо ознакомиться с подобием физических явлений.

Как известно, при подобии геометрических фигур отношение сходственных сторон модели и натуры постоянно. Точно так же при подобии физических явлений отношение между какой-либо физической величиной для модели и для натуры одинаково во всех сходственных точках.

Например, если в трубопроводах диаметрами d₁ и d₂ (рис. 6-12) скорости жидкостей подобны, то отношение скоростей w₁ и w₂ по оси труб равно

_{отношению скоростей w1 и w2 в сходственных точках 1 и 2, т. е} ^w1

^w₂

w_{1 .}

^w₂

Это отношение остается постоянным для всех сходственных точек в обоих трубопроводах. Справедливо и обратное положение: если ук азанное отношение постоянно для всех сходственных точек, то скорости жидкостей в обоих трубопроводах подобны.

Однако движение жидкости в трубопроводе характеризуется не только

распределением скоростей, но и другими факторами: вязкостью жидкости, ее плотностью и др. Как доказывается в теории подобия, для того чтобы жидкость в трубопроводах диаметрами d₁ и d₂ двигалась подобно, в их сходственных точках должны быть равны некоторые безразмерные соотношения физических величин, влияющих на движение жидкости. Эти безразмерные соотношения разнородных физических величин называются критериями подобия.

Рис. 6-12. К определению подобия движения жидкостей

Примером критерия подобия является рассмотренный ранее критерий Re. Если в двух трубопроводах критерии Re равны, то движение жидкости в этих трубопроводах подобно. Отсюда следует, что подобие движения жидкости может соблюдаться в трубопроводах разных диаметров при течении в них разных жидкостей с различными скоростями, если только критерии Re в этих трубопроводах равны.

Движение жидкостей в двух трубопроводах будет подобно в том случае, если в подобных потоках будут постоянны отношения действующих в них сил. В потоке жидкости каждая частица находится под воздействием сил давления, тяжести и трения. Кроме того, в движущейся жидкости возникает сила инерции, равная по величине, но обратная по знаку равнодействующей перечисленных выше сил. В свою очередь сила инерции равна произведению

массы частицы на ее ускорение. Постоянное отношение каждой из действующих сил к силе инерции (или обратное отношение) характеризуется критериями подобия, в которые входят следующие физические вели чины: w

— средняя скорость жидкости, l — основной (определяющий) линейный размер канала, по которому движется жидкость (например, для трубы — ее диаметр), р — потеря давления, —плотность жидкости, µ — вязкость жидкости.

В табл. 5 приведены выражения критериев гидродинамического подобия,

которые в сходственных точках натуры и модели должны иметь одно и то же числовое значение.

Таблица 5

	си	мкгсс
.................................	кг/м3	кгс с2/м4
µ ................................. р...............................	н с/м2 н/м2	кгс с/м2 или кг/м с кгс/м2

Поскольку все критерии являются безразмерными величинами, входящие в них физические величины можно выражать в любой, но одинаковой системе единиц измерения. В системах единиц. СИ и МКГСС выражают w в м/с, l в м, g в м/с², а р, и µ соответственно в следующих размерностях:

Критерии Re и Fr составлены из величин, определяющих распределение скоростей в потоке (w, l, и µ), и поэтому являются основными или определяющими критериями гидродинамического подобия. Если эти критерии в натуре и в модели равны, то существует одинаковое соотношение между действующими в потоках силами, независимо от различия в натуре и в модели любых физических величин, входящих в критерии подобия.

При равенстве критериев Re, а также критериев Fr равенство критериев

Еu получается само собой, так как перепад давления является следствием распределения скоростей в потоке.

Основные критерии Re и Fr иногда заменяют более сложными

критериями Галилея (Ga) и Архимеда (Аr), полученными сочетанием

основных критериев:

2

_{критерий Галилея}

2

R

2

_Ga ^e

gl ³

_gl ³

_,

_(6-45)

Fr

критерий Архимеда

2

_{gl 3 gl 3}

1

2

2

1

1

_{Ar Ga ,}

(6-46)

где и ₁ —плотность жидкости в двух различных точках.

В критерии Ga исключена скорость жидкости, поэтому им удобно

пользоваться в тех случаях, когда трудно определить скорость потока. Критерий Аr характеризует подобие при движении жидкости вследствие разных плотностей в различных точках потока, т. е. в условиях естественной конвекции.

При моделировании исходят из равенства только тех критериев, которые отражают влияние сил, имеющих наибольшее значение для данных условий. Так, при вынужденном движении жидкости (например, при перекачивании ее насосом) влияние сил тяжести ничтожно мало и равенством критериев Fr в этом случае можно пренебречь.

Таким образом, при подобии вынужденного движения должна существовать зависимость между критериями подобия, которая в общей форме выразится функцией

f

Eu Re, l / d ,

_(6-47)

где l/d — постоянное отношение линейных размеров, характеризующее геометрическое подобие труб. Вид этой функции может быть установлен только опытным путем. Для этого зависимость (6 -47) представляют в степенной форме:

Eu C Re ⁿ

l / d ^m ,

_(6-48).

и определяют коэффициент С и показатели степени п и m из опытов.

Полученная количественная зависимость между критериями подобия будет верна не только для условий опыта, но и для любых других жидкостей при любых других скоростях и диаметрах труб, но при тех же пределах значений Re, что и в проведенных опытах.

Основы теории подобия были разработаны известным русским ученым В. Л. Кирпичевым еще в 1874 г. Позднее его идеи были развиты в трудах ряда ученых, в том числе В. Нуссельта, М. В. Кирпичева, А. А. Гухмана, И. Бэкингема и др. Их работы дали возможность плодотворно использовать теорию подобия в самых разнообразных отраслях техники.

По выражению М. В. Кирпичева теория подобия «стала основой эксперимента; она осуществляет синтез теории и опыта».

Пример 6-8. Движение хлористого водорода в трубопроводе диаметром

600 мм при 450 °С изучается на модели (масштаб к натуре 1 : 10), через которую продувается воздух при 20° С. Хлористый водород движется по тру- бопроводу при помощи газодувки со скоростью 7 м/с, плотность газа

₁ = 0,569 кг/м³, вязкость µ₁ = 0,0333 10^-3 н с/м² (0,0333 спз). Определить: 1) условия гидродинамического подобия в трубопроводе и модели, 2) ско рость, с которой надо продувать воздух в модели для того, чтобы воспроиз вести в

ней движение газа в трубопроводе.

Р е ш е н и е . В общем виде условие гидродинамического подобия выра-

_{жается уравнением (6-47). При вынужденном движении газа можно прене-}

f

_{бречь влиянием сил тяжести на движение газа и принять Eu}

_{Re (при гео-}

R

метрическом подобии трубопровода и модели). Следовательно, чтобы газы в трубопроводе и в модели двигались подобно, достаточно соблюдать условие

^Re _тр.

^e_мод. ^.

2

1

2

Обозначим соответствующие величины для трубопровода индексом 1 и для модели — индексом 2, тогда условие гидродинамического подобия можно написать так:

2

1

_Re w₁d₁

w₂ d _{2 .}

_{По заданию w = 7 м/с, d1 = 600 мм, d2 =} ^d1

¹⁰

= 60 мм.

При 20° С плотность воздуха ₂ = 1,2 кг/м³, вязкость воздуха

^µ₂ ^{= 0,018 10-3 н с/м2 (0,018 спз).}

Из условия гидродинамического подобия следует, что необходимая ско-

3

_{рость воздуха в модели должна составлять:}

1

1

w₁d₁

w

₂

7 0,6

0,569

0,018 10

1

_7,94

_{м / с.}

3

2

^d ₂ ^{0,0333 10}

0,06

1,2

1

1

_Re ^w1d1

0,6

0,569

_1765,76,

_{что свидетельствует об устойчивом}

7

1

7

3

0,0333 0

турбулентном режиме.