Критерий Фишера в парной регрессии

С помощью критерия Фишера оценивают качество регрессионной модели в целом и по параметрам.

Для этого выполняется сравнение полученного значения F и табличного F значения. F-критерия Фишера. F фактический определяется из отношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

где n - число наблюдений; m - число параметров при факторе х.

F табличный - это максимальное значение критерия под влиянием случайных факторов при текущих степенях свободы и уровне значимости а.

Уровень значимости а - вероятность не принять гипотезу при условии, что она верна. Как правило а принимается равной 0,05 или 0,01.

Если Fтабл > Fфакт то признается статистическая незначимость модели, ненадежность уравнения регрессии.

Таблицы по нахождению критерия Фишера и Стьюдента

Таблицы значений F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента Вы можете посмотреть здесь.

Табличное значение критерия Фишера вычисляют следующим образом:

1. Определяют k1, которое равно количеству факторов (Х). Например, в однофакторной модели (модели парной регрессии) k1=1, в двухфакторной k=2.

2. Определяют k2, которое определяется по формуле n - m - 1, где n - число наблюдений, m - количество факторов. Например, в однофакторной модели k2 = n - 2.

3. На пересечении столбца k1 и строки k2 находят значение критерия Фишера

Для нахождения табличного значения критерия Стьюдента определяют число степеней свободы, которое определяется по формуле n - m - 1 и находят его значение при определенном уровне значимости (0,10, 0,05, 0,01).

Критерии Стьюдента

Для оценки статистической значимости модели по параметрам рассчитывают t-критерии Стьюдента.

Оценка значимости модели с помощью критерия Стьюдента проводится путем сравнения их значений с величиной случайной ошибки:

Случайные ошибки коэффициентов линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

Сравнивая фактическое и табличное значения t-статистики и принимается или отвергается гипотеза о значимости модели по параметрам.

Зависимость между критерием Фишера и значением t-статистики Стьюдента определяется так

Как и в случае с оценкой значимости уравнения модели в целом, модель считается ненадежной если tтабл > tфакт

Критерий Стьюдента (или Т-критерий) широко применим в практике проверки статистических гипотез о равенстве средних значений двух выборок или среднего значения выборки с неким значением (целевым показателем). В последнем случае различают двухсторонние (предположение о равенстве среднего и целевого значений) и односторонние (предположение, что среднее арифметическое значение больше или меньше целевого) гипотезы. Использование данного критерия предполагает сравнение распределения наблюдаемой величины с распределением Стьюдента. В простейшем случае табличное значение критерия Стьюдента сравнивается с расчетным и, на основании этого исследователь делает вывод в пользу нулевой или альтернативной гипотезы.

Табличные значения коэффициента Стьюдента для односторонних (α) и двусторонних (α/2) гипотез при заданном числе степеней свободы df (n-1):

Условия использования коэффициента Стьюдента:

• Исследуемые данные подчиняются нормальному закону распределения

• Равенство дисперсий (при сравнении двух выборок)

Все зарегистрированные пользователи сайта могут скачать расширенную версию таблицы, в дополнении к этому материалу. Файл содержит табличные значения Т-критерия при заданных числе степеней свободы и α-уровне, а также ряд подсказок упрощающих использование таблицы.

Интересно, что название критерия Стьюдента произошло не от фамилии ученого. Стьюдент – это псевдоним, которым воспользовался Уильям Сили Госсет при публикации результатов своих исследований.

Лекция 3. Доверительный интервал

Оценка случайной погрешности

Дисперсии V(x) и стандартные отклонения S(x) сами по себе не позволяют проводить вероятностную оценку случайной погрешности. Например, если истинное значение определяемой концентрации = 10 мкг/мл, а стандартное отклонение - = 1 мкг/мл еще не значит, что среди результатов измерений не будет значений 8 мкг/мл, 12 мкг/мл и т.д.

Возникает задача вероятностной оценки погрешности. Возможны три формулировки этой задачи:

1) Известно истинное значение и интервал. Нужно найти вероятность того, что измеренное экспериментально значение попадет в этот интервал.

2) Известно истинное значение и задана вероятность. Нужно найти интервал, в который измеренное значение попадает с этой вероятностью

3) Известно экспериментально измеренное значение и задана вероятность, нужно оценить интервал, в котором находится истинное значение с этой вероятностью.

Задача третьего типа имеет наибольшую практическую значимость, т.к. обычно истинное значение неизвестно, а экспериментратор располагает только измеренными значениями определяемой величины.

Чтобы решить эти задачи, необходима дополнительная информация, а именно: общий вид функции распределения. Например, даже если истинные значения и вероятности (вероятность - площать заштрихованной области на рисунке) совпадают, для разных распределений интервал будет разным:

Для результатов химического анализа постулируется нормальное распределение.