2, Аксиоматическпй подход к изучению натуральных чисел
АКСИОМЫ ПЕАНО
Основные понятия: основные объекты: число, единица; основные отношения между натуральными числами: непосредственно следует за.
Аксиома 1: Единица есть натуральное число, которое не следует непосредственно ни за каким натуральным числом.
Аксиома 11. Каково ни было натуральное число а, всегда существует одно и только одно число а* , непосредственно следующее за а, т.е. из а=в вытекает а*=в*.
Аксиома 111. .Любое число следует не более чем за одним числом, т.е. равенство а*=в* влечёт а=в. Аксиома 1У. Если какое-либо множество натураль-ных чисел М обладает следующими двумя свойства-ми:
а) оно содержит единицу;
б) содержа какое-нибудь натуральное число а, оно содержит и непосредственно следующее за ним число а*, то это множество М есть множество натураль-ных чисел. Это свойство называется аксиомой ин-дукции и часто формулируется по-другому:если число а принадлежит М, то а* =а+1 также принадлежит М. Тогда М содержит все натуральные числа. .
Исходя из аксиом Пеано производятся арифме-тические действия над натуральными числами, например:.
O1 Суммой. натуральное числа а + 1 называется на-туральное число а*, непосредственно следующее за а.
. Суммой произвольного натуральное числа а и натурального числа а*, непосредственно следую-щем за другим произвольным натуральным числом в, называется натуральное число (а+в) *, непосред ственно следующее за суммой ( а+в) и др.
3.ТЕОРЕТИКО=МНОЖЕСТВЕННЫЙ ПОДХОД К ИЗУЧЕНИЮ ЧИСЕЛ
Счётным множеством называется бесконечное мно-
жество, когда имеется взаимно-однозначное соот-ветствие элементов м-ва А м-ву натуральных чисел. Численность конечного м-ва типа : Т={s,h,f,h}; обозначается п (Т) =4.
Для любых м-в А,В, и С справедливы следующие
законы :
коммутативности:
А
В
= В
А;
А∩ В
= В∩ А;
ассоциативности: (А В) С= А (В С)
(А∩)В∩С=А∩(В∩С);
дистрибутивности:(А В) ∩С =(А∩ С) В ∩ С;
(А∩В) С= (А С) ∩ (В С)
Теоретической основой сложения целых неотри-цательтельных чисел (ЦНЧ) является операция объединения А В=С конечных неперасекающихся множеств .
Пусть количество элементов п(А)=п{♣,♣,♣}=3, п(В)=п{♥,♥}=2, тогда п(С)=5,п(А В)=п{♣,♣,♣,♥,♥}=3+2=5.
Теоретической основой вычитания ЦНЧ является операция разности множеств С\А или С\В, где А С и В С. Тогда п( С\А)=5-3=2, п(С\В)=5-2=3.
Теоретической основай умножения ЦНЧ является произведение ЦНЧ, такое, что:
1) а•в=а+а+а+...+а (в раз), 2) а•1=а, 3) а•0=0.
Теоретической основой деления ЦНЧ является разбиение множества А={■,■,●,●,▲}, где п(А)=6, на равночисленные подмножества:если получаем количество элементов каждого подмножества 6:3=2, то это будет деление на равные части; если получаем количество частей 6:2=3. Это будет деление по содержанию.
Применение в алгоритмах вычислений